Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a solução da equação diferencial
que satisfaz a condição inicial
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente as equações separáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado. A equação dada é
. Podemos reescrever isso dividindo ambos os lados por
:
Isso facilita a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Assim, conseguimos isolar
de um lado e
do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo com respeito a
é:
E a integral do lado direito com respeito a
é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Vamos juntar as constantes de integração em uma única constante
:
Para resolver para
, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
Como
é apenas uma constante, podemos chamar de
:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que
. Substituindo
na solução:
Portanto,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é: