Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
dydx=y b^2 cos (bx), y(0)=b^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a solução da equação diferencial dydx = y b^2 cos(bx) que satisfaz a condição inicial y(0) = b^3. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais ordinárias, especificamente as equações separáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é separável, ou seja, podemos escrever todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro lado. A equação dada é dydx = y b^2 cos(bx). Podemos reescrever isso dividindo ambos os lados por y:
1y dydx = b^2 cos(bx)
Isso facilita a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Multiplicando ambos os lados por dx, temos:
1y dy = b^2 cos(bx) dx
Assim, conseguimos isolar y de um lado e x do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo com respeito a y é:
integral 1y dy = ln|y| + C1
E a integral do lado direito com respeito a x é:
integral b^2 cos(bx) dx = b^2 cdot sin(bx)b + C2 = b sin(bx) + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Vamos juntar as constantes de integração em uma única constante C:
ln|y| = b sin(bx) + C
Para resolver para y, aplicamos a exponenciação em ambos os lados:
y = e^b sin(bx) + C = e^C cdot e^b sin(bx)
Como e^C é apenas uma constante, podemos chamar de K:
y = K e^b sin(bx)

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de K. Sabemos que y(0) = b^3. Substituindo x = 0 na solução:
b^3 = K e^b sin(0) = K e^0 = K
Portanto, K = b^3.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = b^3 e^b sin(bx)

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