Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais separáveis e como integrar para encontrar a solução. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação é separável, ou seja, se conseguimos separar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Olhando para a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, temos:
Vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
. A integral de
é:
E a integral de
precisa ser resolvida por partes.
Passo 4
Para resolver
, usamos a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Passo 5
Agora, juntando as integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma só, chamada de
:
Passo 6
Vamos usar a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos de volta na equação:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Mas, lembrando da condição inicial
, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é: