Ache a solução da equações diferencias que satisfaça as condições iniciais (ou condições de contorno).
dydx=x sen(x)y y(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
dydx = x sin(x)y com y(0) = -1
Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais separáveis e como integrar para encontrar a solução. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é separável, ou seja, se conseguimos separar os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Olhando para a equação:
dydx = x sin(x)y
Podemos multiplicar ambos os lados por y para isolar dy :
y , dy = x sin(x) , dx

Passo 3

Agora, temos:
y , dy = x sin(x) , dx
Vamos integrar ambos os lados para encontrar y em termos de x . A integral de y , dy é:
integral y , dy = 12 y^2 + C1
E a integral de x sin(x) , dx precisa ser resolvida por partes.

Passo 4

Para resolver integral x sin(x) , dx , usamos a integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du ):
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C2

Passo 5

Agora, juntando as integrais:
12 y^2 + C1 = -x cos(x) + sin(x) + C2
Podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma só, chamada de C :
12 y^2 = -x cos(x) + sin(x) + C

Passo 6

Vamos usar a condição inicial y(0) = -1 para encontrar o valor de C . Substituindo x = 0 e y = -1 :
12 (-1)^2 = -0 cdot cos(0) + sin(0) + C 12 = 0 + 0 + C C = 12

Passo 7

Agora que temos C = 12 , substituímos de volta na equação:
12 y^2 = -x cos(x) + sin(x) + 12
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
y^2 = -2x cos(x) + 2 sin(x) + 1

Passo 8

Finalmente, resolvemos para y :
y = pm raiz-2x cos(x) + 2 sin(x) + 1
Mas, lembrando da condição inicial y(0) = -1 , escolhemos o sinal negativo:
y = -raiz1 - 2x cos(x) + 2 sin(x)

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:
y(x) = -raiz1 - 2x cos(x) + 2 sin(x)

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