Resolva as equações lineares dadas.
x y^prime-2 y=x^2, x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,y' - 2,y = x^2, x>0
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem na forma y' + p(x)y = q(x). Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação no formato padrão dividindo tudo por x:
y' - 2x,y = x

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln x) = x^-2
Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
x^-2y' - 2x^-3y = x^-1,
que é exatamente
l(x^-2yr)' = x^-1

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(x^-2yr)' ,dx = integral x^-1,dx Longrightarrow x^-2y = ln x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolamos y multiplicando por x^2:
y = x^2l(ln x + Cr) = x^2ln x + C,x^2

Resposta

y(x) = x^2ln x + C,x^2, CinR

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