Resolva as equações lineares dadas.
y^prime=x-y

Passo 1

O exercício nos pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear y' = x - y. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares e vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação no formato padrão y' + p(x)y = q(x). No nosso caso isso fica em
y' + y = x

Passo 3

O coeficiente de y é p(x)=1. Calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 1,dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x) para obter uma forma exata:
e^x y' + e^x y = x e^x

Passo 5

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^x y:
ddxl(e^x yr) = x e^x

Passo 6

Agora integramos ambos os lados:
integral ddx(e^x y),dx = integral x e^x,dx

Passo 7

Para calcular integral x e^x,dx usamos integração por partes e obtemos
integral x e^x,dx = (x-1)e^x + C

Passo 8

Substituindo de volta e isolando y:
e^x y = (x-1)e^x + C implies y = x - 1 + C e^-x

Resposta

y(x) = x - 1 + C e^-x

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