Tente calcular a integral com um CAS usando a ordem de integração indicada e, depois, invertendo a ordem de integração.
integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 sec ^2(cos x) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integralarcsin y^pi/2sec^2(cos x),dx,dy,
usando a ordem dada e depois invertendo a ordem de integração. O conteúdo principal é integração dupla e aplicação do teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Se tentarmos integrar primeiro em x, isto é calcular a primitiva
integralsec^2(cos x),dx,
um sistema algébrico-computacional (CAS) não encontra uma antiderivada elementar—aparecem funções especiais. Por isso, vamos inverter a ordem de integração.

Passo 3

A região de integração é
$$D={(x,y):0\le y\le1,;\arcsin y\le x\le\pi/2}.
$$Como D=(x,y):0<= y<=1,;arcsin y<= x<=pi/2 equivale a x=arcsin y, podemos descrever a mesma região por
y=sin x

Passo 4

Invertemos então a ordem e escrevemos
$$\int_{0}^{1}\int_{\arcsin y}{\pi/2}\sec2(\cos x),dx,dy
=\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{\sin x}\sec^2(\cos x),dy,dx.$$
Como o integrando não depende de integral0^1integralarcsin y^pi/2sec^2(cos x),dx,dy =integral0^pi/2integral0^sin xsec^2(cos x),dy,dx, a integração em y dá um fator y:
sin x

Passo 5

Agora fazemos a substituição t=cos x. Assim
dt=-sin x,dxLongrightarrowsin x,dx=-dt,
e quando x=0 temos t=1, quando x=pi/2 temos t=0. Logo
integral0^pi/2sin x,sec^2(cos x),dx=integral1^0sec^2(t)(-dt)=integral0^1sec^2(t),dt

Passo 6

Para terminar, basta integrar:
integral0^1sec^2(t),dt=[tan t]0^1=tan(1)-tan(0)=tan(1)

Resposta

tan(1)

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