Tente calcular a integral com um CAS usando a ordem de integração indicada e, depois, invertendo a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
usando a ordem dada e depois invertendo a ordem de integração. O conteúdo principal é integração dupla e aplicação do teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.
Passo 2
Se tentarmos integrar primeiro em
, isto é calcular a primitiva
um sistema algébrico-computacional (CAS) não encontra uma antiderivada elementar—aparecem funções especiais. Por isso, vamos inverter a ordem de integração.
Passo 3
A região de integração é
$$D={(x,y):0\le y\le1,;\arcsin y\le x\le\pi/2}.
$$Como
equivale a
, podemos descrever a mesma região por
Passo 4
Invertemos então a ordem e escrevemos
$$\int_{0}^{1}\int_{\arcsin y}{\pi/2}\sec2(\cos x),dx,dy
=\int_{0}{\pi/2}\int_{0}{\sin x}\sec^2(\cos x),dy,dx.$$
Como o integrando não depende de
, a integração em
dá um fator
:
Passo 5
Agora fazemos a substituição
. Assim
e quando
temos
, quando
temos
. Logo
Passo 6
Para terminar, basta integrar: