Expresse a integral como uma integral equivalente com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integralarcsen y^pi / 2 f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
integral0^1integralarcsin y^pi/2f(x,y),dx,dy
sobre a região
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;arcsin y<= x<=pi/2
Queremos reescrever essa integral trocando a ordem de integração, ou seja, descrever D como
D=(x,y)mid a<= x<= b,;g1(x)<= y<= g2(x)
e então integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Observamos que em D temos sempre 0<= y<=1 e arcsin y<= x<=pi/2. Como a função arcsin é crescente em [0,1] e seu inverso é y=sin x no intervalo xin[0,pi/2], a condição
arcsin y<= x
é equivalente a
y<=sin x,
desde que xin[0,pi/2]. Portanto
D=(x,y)mid 0<= x<=pi/2,;0<= y<=sin x

Passo 3

Com essa descrição, ao inverter a ordem de integração temos:
  • x varia de 0 até pi/2;
  • para cada x, y varia de 0 até sin x.
Logo a integral invertida fica
integral0^pi/2integral0^sin xf(x,y),dy,dx

Resposta

integral0^pi/2integral0^sin xf(x,y),dy,dx

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