Ache a solução formal do problema em que uma corda elástica tem comprimento L e uma extremidade solta em x=0, de acordo com o problema a seguir:
\left\{\begin{array}{cc} u_{t t}=a^{2} u_{x x}, & 0<x<L, t>0 \\\ u_{x}(0, t)=0, u(L, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=f(x), u_{t}(x, 0)=g(x), & 0 \leq x \leq L \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda
u_{t t} = a^{2} u_{x x},\quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno homogêneas mistas
u_{x}(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad u_{t}(x,0)=g(x).
O conteúdo a ser usado é separação de variáveis e expansão em autofunções do problema de Sturm–Liouville para o operador espacial com Neumann em x=0 e Dirichlet em x=L.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo em u_{tt}=a^2u_{xx} e dividindo por a^2X T obtém-se
\frac{T''(t)}{a^2T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda.
Isso leva às ODEs
X'' + \lambda X = 0,
T'' + a^2\lambda T = 0.

Passo 3

Aplicando as condições de contorno ao modo espacial X:
X'(0)=0\quad\Longrightarrow\quad X(x)=A\cos(kx),
X(L)=0\quad\Longrightarrow\quad \cos(kL)=0\quad\Longrightarrow\quad kL=\frac{(2n-1)\pi}{2},\;n=1,2,\dots
Logo
k_{n}=\frac{(2n-1)\pi}{2L},\quad \lambda_{n}=k_{n}^{2},
e os autofunções são
X_{n}(x)=\cos\!\bigl(k_{n}x\bigr).

Passo 4

Cada modo fornece
T_{n}(t)=\alpha_{n}\cos\bigl(a k_{n}t\bigr)+\beta_{n}\sin\bigl(a k_{n}t\bigr).
Assim, a solução geral é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\alpha_{n}\cos\bigl(a k_{n}t\bigr)+\beta_{n}\sin\bigl(a k_{n}t\bigr)\Bigr]\cos\bigl(k_{n}x\bigr).

Passo 5

Usamos u(x,0)=f(x) e u_{t}(x,0)=g(x). Em t=0
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}\cos\bigl(k_{n}x\bigr),
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a k_{n}\,\beta_{n}\cos\bigl(k_{n}x\bigr).
Graças à ortogonalidade
\int_{0}^{L}\cos(k_{m}x)\cos(k_{n}x)\,dx = \begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ \frac{L}{2},&m=n, \end{cases}
segue
\alpha_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\bigl(k_{n}x\bigr)\,dx, \quad \beta_{n}=\frac{2}{a k_{n}L}\int_{0}^{L}g(x)\cos\bigl(k_{n}x\bigr)\,dx.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \Bigl(\frac{2}{L}\!\int_{0}^{L}f(s)\cos(k_{n}s)\,ds\Bigr)\cos(a k_{n}t) +\Bigl(\frac{2}{a k_{n}L}\!\int_{0}^{L}g(s)\cos(k_{n}s)\,ds\Bigr)\sin(a k_{n}t) \Biggr]\cos(k_{n}x),
com
k_{n}=\frac{(2n-1)\pi}{2L},\quad n=1,2,\dots.

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