Resolva os ítens abaixo:
Calcule a derivada de f(x)=(\cos x)^{\left(x^{2}+5\right)};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (\cos x)^{\bigl(x^2+5\bigr)}.
O conteúdo que vamos usar é a regra da função potência com expoente e base variáveis, que se baseia em escrever u(x)^{v(x)} como e^{v(x)\ln(u(x))} e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x) = (\cos x)^{(x^2+5)}
como exponencial, definindo
g(x) = (x^2+5)\,\ln\bigl(\cos x\bigr),
de modo que
f(x) = e^{g(x)}.

Passo 3

Aplicando a derivada de e^{g(x)} e a regra da cadeia, temos
f'(x) = e^{g(x)} \,g'(x).
Agora calculamos
g'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^2+5\bigr)\,\ln(\cos x) + (x^2+5)\,\frac{d}{dx}\ln(\cos x).
Como \frac{d}{dx}(x^2+5)=2x e \frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x, resulta
g'(x) = 2x\,\ln(\cos x) - (x^2+5)\,\tan x.

Resposta

f'(x) = (\cos x)^{(x^2+5)}\Bigl[\,2x\,\ln(\cos x)\;-\;(x^2+5)\,\tan x\Bigr].

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