(1.5) Construa o gráfico da função
explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidades e pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico de
identificando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de máximo e mínimo locais, as regiões de concavidade e o ponto de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas primeira e segunda: com
determinamos monotonicidade e extremos; com
avaliamos concavidade e inflexões.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Os pontos críticos vêm de
, isto é,
Para estudar o sinal de
, note que:
- Se , então
e
.
- Se , então
e
.
- Se , então
e
.
Logo cresce em
e
, e decresce em
.
Avaliemos os valores de em
:
- Se
- Se
- Se
Logo
Avaliemos os valores de
Como
muda de positivo para negativo em
, há um máximo local em
. Como
muda de negativo para positivo em
, há um mínimo local em
.
Passo 3
Calculemos a derivada segunda:
O sinal de
indica concavidade:
- Se , então
e
é côncava para baixo.
- Se , então
e
é côncava para cima.
Em ,
e há troca de concavidade, logo ponto de inflexão em
(pois
).
- Se
- Se
Em
Passo 4
Com essas informações, o esboço do gráfico é o de um polinômio cúbico simétrico em rotação:
- Cresce até , atinge máximo
, depois decresce até
, atinge mínimo
, e a seguir cresce.
- É côncavo para baixo até o ponto de inflexão em e côncavo para cima depois.
- Cresce até
- É côncavo para baixo até o ponto de inflexão em
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Máximo local:
Mínimo local:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão:
Intervalo de decrescimento:
Máximo local:
Mínimo local:
Concavidade para baixo:
Concavidade para cima:
Ponto de inflexão: