(1.5) Construa o gráfico da função f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x explicitando os intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidades e pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico de
f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x
identificando os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de máximo e mínimo locais, as regiões de concavidade e o ponto de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas primeira e segunda: com f'(x) determinamos monotonicidade e extremos; com f''(x) avaliamos concavidade e inflexões.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{3}}{3}-x\Bigr)=x^{2}-1.
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, isto é,
x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.
Para estudar o sinal de f'(x), note que:
- Se x<-1, então x^{2}-1>0 e f'(x)>0.
- Se -1<x<1, então x^{2}-1<0 e f'(x)<0.
- Se x>1, então x^{2}-1>0 e f'(x)>0.
Logo f cresce em (-\infty,-1) e (1,\infty), e decresce em (-1,1).
Avaliemos os valores de f em x=\pm1:
f(-1)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3},\qquad f(1)=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}.
Como f' muda de positivo para negativo em x=-1, há um máximo local em \bigl(-1,\tfrac{2}{3}\bigr). Como f' muda de negativo para positivo em x=1, há um mínimo local em \bigl(1,-\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 3

Calculemos a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-1\bigr)=2x.
O sinal de f''(x) indica concavidade:
- Se x<0, então f''(x)<0 e f é côncava para baixo.
- Se x>0, então f''(x)>0 e f é côncava para cima.
Em x=0, f''(0)=0 e há troca de concavidade, logo ponto de inflexão em \bigl(0,0\bigr) (pois f(0)=0).

Passo 4

Com essas informações, o esboço do gráfico é o de um polinômio cúbico simétrico em rotação:
- Cresce até x=-1, atinge máximo \tfrac{2}{3}, depois decresce até x=1, atinge mínimo -\tfrac{2}{3}, e a seguir cresce.
- É côncavo para baixo até o ponto de inflexão em (0,0) e côncavo para cima depois.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,-1)\cup(1,\infty)
Intervalo de decrescimento: (-1,1)
Máximo local: \bigl(-1,\tfrac{2}{3}\bigr)
Mínimo local: \bigl(1,-\tfrac{2}{3}\bigr)
Concavidade para baixo: (-\infty,0)
Concavidade para cima: (0,\infty)
Ponto de inflexão: \bigl(0,0\bigr)

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