Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros
e
e pelos três planos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em que
,
,
(primeiro octante), limitado lateralmente pelo cilindro circular de equação
e pelo cilindro-paraboloide
O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla usando mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Para cada ponto
no setor
,
dentro do círculo
, a coordenada
varia de
até a superfície dada por
Assim
onde
é o quarto de disco
,
,
.
Passo 3
É conveniente usar coordenadas polares:
com
e
. O integrando fica
Logo
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então
Passo 5
Sabendo que
temos