Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+2 z=4 e pelos três planos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em que x\ge0, y\ge0, z\ge0 (primeiro octante), limitado lateralmente pelo cilindro circular de equação
x^{2}+y^{2}=4
e pelo cilindro-paraboloide
x^{2}+2z=4.
O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla usando mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) no setor x\ge0, y\ge0 dentro do círculo x^{2}+y^{2}\le4, a coordenada z varia de z=0 até a superfície dada por
x^{2}+2z=4\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{4-x^{2}}{2}.
Assim
V=\iint_{D}\Bigl[\int_{0}^{(4-x^{2})/2}dz\Bigr]\,dA =\iint_{D}\frac{4-x^{2}}{2}\,dA,
onde D é o quarto de disco x^{2}+y^{2}\le4, x\ge0, y\ge0.

Passo 3

É conveniente usar coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
com r\in[0,2] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. O integrando fica
\frac{4-x^{2}}{2} =\frac{4-r^{2}\cos^{2}\theta}{2}.
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V=\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2} \frac{4-r^{2}\cos^{2}\theta}{2}\;r\,dr\,d\theta =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2}(4r-r^{3}\cos^{2}\theta)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{2}(4r-r^{3}\cos^{2}\theta)\,dr =\Bigl[2r^{2}-\frac{r^{4}}{4}\cos^{2}\theta\Bigr]_{0}^{2} =8-4\cos^{2}\theta.
Então
V=\frac12\int_{0}^{\pi/2}\bigl(8-4\cos^{2}\theta\bigr)\,d\theta = \frac12\Bigl[8\theta-4\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta\Bigr].

Passo 5

Sabendo que
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4},
temos
V=\frac12\Bigl(8\cdot\frac{\pi}{2}-4\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr) =\frac12\bigl(4\pi-\pi\bigr) =\frac{3\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{2}

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