Ache a solução geral de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar soluções para equações homogêneas associadas e depois uma solução particular para a parte não homogênea. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, aquela sem o termo
no lado direito:
Isso nos ajudará a encontrar a solução geral da equação completa depois.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos simplificar dividindo todos os termos por
:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
onde
e
.
Passo 4
Vamos procurar soluções da equação homogênea assumindo que
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo
na equação homogênea:
Primeiro, calcule as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 5
Para que a equação seja válida para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Agora, simplificamos:
Isso resulta em uma equação para
que depende de
, o que sugere que nossa suposição inicial não é adequada. Isso indica que precisamos usar outro método para resolver a equação homogênea.
Passo 6
Vamos tentar encontrar uma solução particular usando substituição. Observando a equação homogênea:
Podemos tentar simplificar a equação usando uma substituição que torne a equação de coeficientes constantes. Vamos definir:
Onde
é uma constante a ser determinada. Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Fatorando
:
Passo 7
Novamente, para que a equação seja válida para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Rearranjando:
Repare que estamos de volta à mesma situação anterior, indicando que outra abordagem é necessária.
Passo 8
Como a tentativa de solução por potências de
não está funcionando diretamente, vamos usar o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução homogênea. Observamos que os coeficientes são funções de
, então precisamos procurar soluções que considerem essa variação.
Vamos supor que uma das soluções da equação homogênea seja
. Vamos verificar:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Verdade! Então,
é uma solução da equação homogênea.
Passo 9
Com uma solução
conhecida, podemos encontrar a segunda solução
usando o método de redução de ordem. Assumimos que:
Na nossa equação,
, então:
Portanto:
Agora, substituindo na fórmula para
:
Portanto, a segunda solução é
.
Passo 10
Agora que temos as duas soluções da equação homogênea:
A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 11
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a parte não homogênea da equação:
Assumindo que a solução particular tem a forma
, vamos determinar
e
.
Substituindo
na equação:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Fatorando
:
Para que isso seja válido para todo
, igualamos os coeficientes:
Passo 12
Vamos escolher
para igualar os expoentes, já que o lado direito é
. Substituindo
:
Para que a igualdade seja válida, precisamos que:
Isso não é possível para todos os
. Isso indica que nossa suposição inicial para
precisa ser ajustada. Vamos tentar incluir um termo adicional.
Passo 13
Como a forma
não funcionou, tentamos multiplicar por
, já que
já é solução da homogênea. Assim, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação não homogênea:
Após simplificação e igualando os coeficientes, encontramos o valor de
.
Após cálculos, chegamos a
.
Passo 14
Portanto, a solução particular é:
Passo 15
Finalmente, combinando a solução geral da homogênea com a solução particular, temos a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: