Resolva por variação dos parâmetros.
d^2 yd x^2-2 d yd x-y=tg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa ser resolvida usando o método da variação dos parâmetros. O enunciado é:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x - y = tg x
Então, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções gerais usando a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada. Isso significa resolver a equação sem o termo da direita ( tg x):
d^2 yd x^2 - 2 d yd x - y = 0
Para resolver essa equação homogênea, a gente assume que a solução tem a forma y = e^r x, onde r é uma constante que vamos descobrir.

Passo 3

Substituindo y = e^r x na equação homogênea, temos:
r^2 e^r x - 2 r e^r x - e^r x = 0
Dividindo todos os termos por e^r x (que nunca é zero), simplificamos para:
r^2 - 2 r - 1 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação característica:
r^2 - 2 r - 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 42 = 2 pm raiz82 = 2 pm 2raiz22 = 1 pm raiz2
Então, as soluções são r1 = 1 + raiz2 e r2 = 1 - raiz2.

Passo 5

Com os valores de r, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^(1 + raiz2)x + C2 e^(1 - raiz2)x
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. A solução geral será a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x)

Passo 7

Para usar a variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular é uma combinação linear das soluções homogêneas, mas com coeficientes que são funções de x:
yp(x) = u1(x) e^(1 + raiz2)x + u2(x) e^(1 - raiz2)x
Nossos objetivos agora são encontrar as funções u1(x) e u2(x).

Passo 8

Primeiro, calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas. O Wronskiano W é dado por:
W = y1 & y2 y1' & y2'
Onde y1 = e^(1 + raiz2)x e y2 = e^(1 - raiz2)x. Calculando as derivadas:
y1' = (1 + raiz2) e^(1 + raiz2)x
y2' = (1 - raiz2) e^(1 - raiz2)x
Então,
W = e^(1 + raiz2)x cdot (1 - raiz2) e^(1 - raiz2)x - e^(1 - raiz2)x cdot (1 + raiz2) e^(1 + raiz2)x = -2raiz2 e^2x

Passo 9

As fórmulas para u1' e u2' no método da variação dos parâmetros são:
u1' = -y2 cdot g(x)W
u2' = y1 cdot g(x)W
Onde g(x) é o termo da equação diferencial não homogênea, que neste caso é tg x.
Substituindo os valores:
u1' = -e^(1 - raiz2)x cdot tg x-2raiz2 e^2x = e^(1 - raiz2)x cdot tg x2raiz2 e^2x = e^(-1 - raiz2)x cdot tg x2raiz2
u2' = e^(1 + raiz2)x cdot tg x-2raiz2 e^2x = -e^(1 + raiz2)x cdot tg x2raiz2 e^2x = -e^(-1 + raiz2)x cdot tg x2raiz2

Passo 10

Agora, para encontrar u1(x) e u2(x), precisamos integrar u1' e u2':
u1(x) = integral e^(-1 - raiz2)x cdot tg x2raiz2 dx
u2(x) = integral -e^(-1 + raiz2)x cdot tg x2raiz2 dx
Essas integrais podem não ter uma solução em termos de funções elementares, mas para fins de apresentação, vamos deixá-las expressas dessa forma.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada pelo método da variação dos parâmetros:
y(x) = C1 e^(1 + raiz2)x + C2 e^(1 - raiz2)x + ( e^(1 + raiz2)x integral e^(-1 - raiz2)x cdot tg x2raiz2 dx ) + ( e^(1 - raiz2)x integral -e^(-1 + raiz2)x cdot tg x2raiz2 dx )
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais. As integrais representam a solução particular e podem necessitar de métodos avançados ou aproximações para serem resolvidas completamente.

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