Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x -1 4 x^3+x^2+3x^5+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto -14x^3 + x^2 + 3x^5 + 1
usando a regra de L’Hôpital sempre que possível. O conteúdo envolvido é limites de funções, forma indeterminada 0/0 e aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
num = 4(-1)^3 + (-1)^2 + 3 = -4 + 1 + 3 = 0,
den = (-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0
Como obtemos 0/0, podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
ddxl(4x^3 + x^2 + 3r) = 12x^2 + 2x,
ddxl(x^5 + 1r) = 5x^4
Pela regra de L’Hôpital,
limxto -14x^3 + x^2 + 3x^5 + 1 = limxto -112x^2 + 2x5x^4

Passo 4

Agora substituímos x = -1 na nova expressão:
12(-1)^2 + 2(-1) = 12 - 2 = 10,
5(-1)^4 = 5cdot1 = 5,
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limxto -112x^2 + 2x5x^4 = 105 = 2

Resposta

2

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