Resolva por variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que satisfaz a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo todos os termos por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Usaremos o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar
considerando a forma da solução homogênea.
Passo 7
No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular
tem a forma:
onde
e
são as soluções da equação homogênea, e
e
são funções a serem determinadas.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Mas, para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Passo 9
Com essa condição, as derivadas simplificam para:
Substituindo
,
e
na equação diferencial original:
Passo 10
Porém, sabemos que
e
satisfazem a equação homogênea, então a parte homogênea cancela, restando:
O que implica que:
Passo 11
Agora, temos um sistema de equações para
e
:
Podemos resolver esse sistema usando determinantes.
Passo 12
Montamos a matriz dos coeficientes:
E calculamos seu determinante
(também chamado de Wronskiano):
Passo 13
Substituindo
e
, calculamos
:
Após simplificações, encontramos:
Passo 14
Agora, aplicamos a regra de Cramer para encontrar
e
:
Simplificando, temos as expressões para
e
.
Passo 15
Integrando
e
em relação a
, obtemos
e
:
Essas integrais podem ser complexas e podem exigir técnicas de integração específicas.
Passo 16
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
para obter a solução particular.
Passo 17
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
é a solução particular obtida pelo método de variação dos parâmetros, e
,
são constantes arbitrárias.