Resolva por variação dos parâmetros.
d^2 yd x^2-5 d yd x+7 y=cotg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
d^2 yd x^2 -5 d yd x +7 y = cot x
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que satisfaz a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
d^2 yd x^2 -5 d yd x +7 y = 0
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma y = e^r x , onde r é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo y = e^r x na equação homogênea, temos:
r^2 e^r x -5 r e^r x +7 e^r x = 0
Dividindo todos os termos por e^r x (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 -5 r +7 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática r^2 -5 r +7 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 5 pm raiz25 - 282 = 5 pm raiz-32 = 52 pm raiz32i

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = e^52x ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) )
Aqui, C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
d^2 yd x^2 -5 d yd x +7 y = cot x
Usaremos o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar yp considerando a forma da solução homogênea.

Passo 7

No método de variação dos parâmetros, assumimos que a solução particular yp tem a forma:
yp = u1 y1 + u2 y2
onde y1 e y2 são as soluções da equação homogênea, e u1 e u2 são funções a serem determinadas.

Passo 8

Calculamos as derivadas de yp :
yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
yp'' = u1'' y1 + 2 u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2 u2' y2' + u2 y2''
Mas, para simplificar os cálculos, impomos a condição:
u1' y1 + u2' y2 = 0

Passo 9

Com essa condição, as derivadas simplificam para:
yp' = u1 y1' + u2 y2'
yp'' = u1 y1'' + u2 y2''
Substituindo yp , yp' e yp'' na equação diferencial original:
u1 y1'' + u2 y2'' -5(u1 y1' + u2 y2') +7(u1 y1 + u2 y2) = cot x

Passo 10

Porém, sabemos que y1 e y2 satisfazem a equação homogênea, então a parte homogênea cancela, restando:
0 = cot x
O que implica que:
u1 y1' + u2 y2' = cot x

Passo 11

Agora, temos um sistema de equações para u1' e u2' :
u1' y1 + u2' y2 = 0 u1' y1' + u2' y2' = cot x
Podemos resolver esse sistema usando determinantes.

Passo 12

Montamos a matriz dos coeficientes:
y1 & y2 y1' & y2'
E calculamos seu determinante W (também chamado de Wronskiano):
W = y1 y2' - y2 y1'

Passo 13

Substituindo y1 = e^52x cos( raiz32x ) e y2 = e^52x sin( raiz32x ) , calculamos W :
W = e^52x cos( raiz32x ) cdot e^52x cdot raiz32 cos( raiz32x ) + dots
Após simplificações, encontramos:
W = e^5x cdot raiz32

Passo 14

Agora, aplicamos a regra de Cramer para encontrar u1' e u2' :
u1' = -y2 cdot cot xW = - e^52x sin( raiz32x ) cot x e^5x cdot raiz32 = dots
u2' = y1 cdot cot xW = e^52x cos( raiz32x ) cot x e^5x cdot raiz32 = dots
Simplificando, temos as expressões para u1' e u2' .

Passo 15

Integrando u1' e u2' em relação a x , obtemos u1 e u2 :
u1 = integral u1' dx
u2 = integral u2' dx
Essas integrais podem ser complexas e podem exigir técnicas de integração específicas.

Passo 16

Finalmente, substituímos u1 e u2 na expressão de yp = u1 y1 + u2 y2 para obter a solução particular.

Passo 17

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y = e^52x ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) ) + yp
onde yp é a solução particular obtida pelo método de variação dos parâmetros, e C1 , C2 são constantes arbitrárias.

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