(Meia-vida) A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo em que a metade de uma determinada quantidade dessa substância desaparece. Dessa forma, ela mede a rapidez do seu decaimento.
Sendo o decaimento do 88 Ra^2266^6 dado pela seguinte equação, qual é sua a meia vida? d yd t=-1,4 times 10^-11 y

Passo 1

O enunciado diz que a quantidade y de 88Ra^226 obedece à equação diferencial de decaimento
dydt = -1,4times10^-11,y,
e pede a meia-vida, isto é, o tempo em que sobra metade de y. Para resolver, vamos usar o modelo de decaimento exponencial.

Passo 2

A equação
dydt = -lambda,y,
com lambda = 1,4times10^-11, tem solução geral
y(t) = y0,e^-lambda t,
onde y0 é a quantidade inicial.

Passo 3

Por definição de meia-vida t1/2, temos
y(t1/2) = y02

Passo 4

Substituindo na solução exponencial:
y0,e^-lambda t1/2 = y02 Longrightarrow e^-lambda t1/2 = 12 Longrightarrow -lambda t1/2 = ln!l(tfrac12r)
Logo,
t1/2 = ln(2)lambda

Passo 5

Calculando numericamente:
t1/2 = ln(2)1,4times10^-11 approx 0,69311,4times10^-11 approx 4,95times10^10 (segundos)

Passo 6

Convertendo para anos ( 1 ano approx3,15times10^7 s):
t1/2 approx 4,95times10^103,15times10^7 approx 1,57times10^3 (anos) approx 1570 anos

Resposta

A meia-vida é
t1/2 = ln(2)1,4times10^-11 approx 4,95times10^10 s approx 1570 anos

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