Ache a solução geral de cada uma das E D O^prime s, usando o método de variação dos parâmetros:
y^prime prime+y=sec t, -pi2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' + y = sec t
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear não homogênea. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa equação homogênea é a soma das soluções complementares.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, supomos uma solução da forma:
y = e^rt
Substituindo na equação homogênea:
r^2 e^rt + e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 + 1 = 0
Resolvendo essa equação característica:
r^2 = -1 Rightarrow r = pm i

Passo 4

Com raízes complexas r = pm i, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 cos t + C2 sin t
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros.
Para isso, assumimos que a solução particular é da forma:
yp(t) = u1(t) cos t + u2(t) sin t
onde u1(t) e u2(t) são funções que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de yp(t):
yp'(t) = u1'(t) cos t - u1(t) sin t + u2'(t) sin t + u2(t) cos t
yp''(t) = u1''(t) cos t - 2u1'(t) sin t - u1(t) cos t + u2''(t) sin t + 2u2'(t) cos t - u2(t) sin t

Passo 7

Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
u1'(t) cos t + u2'(t) sin t = 0
Isso simplifica a expressão de yp'(t) para:
yp'(t) = -u1(t) sin t + u2(t) cos t

Passo 8

Substituindo yp(t) e suas derivadas na equação original y'' + y = sec t:
yp''(t) + yp(t) = sec t
Após simplificações (usando a condição imposta), obtemos:
-u1'(t) sin t + u2'(t) cos t + u1(t) cos t + u2(t) sin t = sec t
Mas, ao implementar a condição do Passo 7, a equação se reduz a:
u1'(t) cos t + u2'(t) sin t = sec t

Passo 9

Resumindo, temos o sistema de equações:
  1. u1'(t) cos t + u2'(t) sin t = sec t
  2. -u1'(t) sin t + u2'(t) cos t = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar u1'(t) e u2'(t).

Passo 10

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
-u1'(t) sin t + u2'(t) cos t = 0 Rightarrow u2'(t) = u1'(t) tan t
Substituindo na primeira equação:
u1'(t) cos t + u1'(t) tan t sin t = sec t
Simplificando:
u1'(t) cos t + u1'(t) sin t cdot tan t = sec t
Sabendo que tan t = sin tcos t:
u1'(t) cos t + u1'(t) sin t cdot sin tcos t = sec t
u1'(t) cos t + u1'(t) sin^2 tcos t = sec t
Fatorando u1'(t):
u1'(t) ( cos t + sin^2 tcos t ) = sec t
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
cos t + sin^2 tcos t = cos^2 t + sin^2 tcos t = 1cos t = sec t
Então:
u1'(t) cdot sec t = sec t Rightarrow u1'(t) = 1

Passo 11

Já que u1'(t) = 1, integramos para encontrar u1(t):
u1(t) = integral 1 , dt = t + C
Podemos ignorar a constante C aqui, pois ela será absorvida nas constantes gerais da solução.

Passo 12

Usando a relação u2'(t) = u1'(t) tan t = tan t, integramos para encontrar u2(t):
u2(t) = integral tan t , dt = -ln|cos t| + C
Novamente, podemos ignorar a constante C.

Passo 13

Agora, a solução particular é:
yp(t) = u1(t) cos t + u2(t) sin t = t cos t - ln|cos t| sin t

Passo 14

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos t + C2 sin t + t cos t - ln|cos t| sin t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 cos t + C2 sin t + t cos t - ln|cos t| sin t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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