Ache a solução geral de cada uma das
, usando o método de variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear não homogênea. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução dessa equação homogênea é a soma das soluções complementares.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, supomos uma solução da forma:
Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvendo essa equação característica:
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros.
Para isso, assumimos que a solução particular é da forma:
onde
e
são funções que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Passo 7
Para simplificar os cálculos, impomos a condição:
Isso simplifica a expressão de
para:
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação original
:
Após simplificações (usando a condição imposta), obtemos:
Mas, ao implementar a condição do Passo 7, a equação se reduz a:
Passo 9
Resumindo, temos o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 10
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Sabendo que
:
Fatorando
:
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Então:
Passo 11
Já que
, integramos para encontrar
:
Podemos ignorar a constante
aqui, pois ela será absorvida nas constantes gerais da solução.
Passo 12
Usando a relação
, integramos para encontrar
:
Novamente, podemos ignorar a constante
.
Passo 13
Agora, a solução particular é:
Passo 14
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.