Resolva o PVI:
y^prime prime+16 " y=0, y(pi4)=-3 ; y^prime(pi4)=4

Passo 1

O problema é um PVI (problema de valor inicial) para a EDO linear homogênea de segunda ordem
y'' + 16,y = 0
com condições
yl(tfracpi4r) = -3, y'l(tfracpi4r) = 4
O conteúdo usado será a solução geral de EDO com coeficientes constantes e aplicação das condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
lambda^2 + 16 = 0
Isso dá raízes complexas lambda = pm 4,i. Logo, a solução geral é
y(x) = A cos(4x) + B sin(4x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos a derivada
y'(x) = -4A ,sin(4x) + 4B ,cos(4x)
Aplicamos as condições em x = tfracpi4. Sabendo que cos(4cdottfracpi4)=cos(pi)=-1 e sin(pi)=0, temos
yl(tfracpi4r) = Acos(pi) + Bsin(pi) = -A = -3 ;Longrightarrow; A = 3,
y'l(tfracpi4r) = -4Asin(pi) + 4Bcos(pi) = 4B,( -1 ) = -4B = 4 ;Longrightarrow; B = -1

Passo 4

Substituindo A=3 e B=-1 na solução geral, obtemos
y(x) = 3cos(4x) ;-;sin(4x)

Resposta

y(x) = 3cos(4x) - sin(4x)

Exercícios relacionados