Resolva o PVI:
y^prime prime+2 " y^prime+2 " y=0, y(0)=2 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação diferencial
y'' + 2y' + 2y = 0,
com condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1. É um PVI de segunda ordem linear homogêneo com coeficientes constantes; vamos resolver usando a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 2r + 2 = 0
Resolvendo para r usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot22cdot1 = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42 = -1 pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas alpha pm ibeta com alpha=-1 e beta=1, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x)r) = e^-xl(C1 cos x + C2 sin xr)

Passo 4

Derivando y(x) temos
y'(x) = l(-C1cos x - C2sin xr)e^-x + l(-C1sin x + C2cos xr)e^-x = e^-xl((C2 - C1)cos x - (C1 + C2)sin xr)
Aplicando x=0 nas condições iniciais:
y(0) = C1 = 2,
y'(0) = C2 - C1 = 1 Longrightarrow C2 = 1 + C1 = 3

Resposta

y(x) = e^-xl(2cos x + 3sin xr)

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