Ache a solução geral de cada uma das E D O^prime s, usando o método de variação dos parâmetros:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=t e^3 t+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 3y' + 2y = t e^3t + 1
O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, solução da equação homogênea associada e como aplicar a variação dos parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, a parte sem o lado direito:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt, onde r é uma constante que a gente precisa descobrir.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
y' = r e^rt y'' = r^2 e^rt
Então, a equação fica:
r^2 e^rt - 3r e^rt + 2 e^rt = 0 e^rt(r^2 - 3r + 2) = 0
Como e^rt neq 0, temos:
r^2 - 3r + 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
r^2 - 3r + 2 = 0 (r - 1)(r - 2) = 0 r = 1 ou r = 2
Então, as soluções da equação homogênea são y1 = e^t e y2 = e^2t.

Passo 5

A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
yh = C1 e^t + C2 e^2t
Onde C1 e C2 são constantes que a gente vai determinar com condições iniciais (se tiver).

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) da equação completa:
y'' - 3y' + 2y = t e^3t + 1
Vamos usar o método de variação dos parâmetros. Esse método envolve assumir que as constantes C1 e C2 são funções de t, ou seja, C1(t) e C2(t).

Passo 7

Assumimos:
yp = C1(t) e^t + C2(t) e^2t
Para simplificar os cálculos, impomos que:
C1'(t) e^t + C2'(t) e^2t = 0
Isso nos ajuda a encontrar expressões para C1'(t) e C2'(t).

Passo 8

Calculando as derivadas:
yp' = C1'(t) e^t + C1(t) e^t + C2'(t) e^2t + 2 C2(t) e^2t
Usando a condição que impusemos:
C1'(t) e^t + C2'(t) e^2t = 0
Então:
yp' = C1(t) e^t + 2 C2(t) e^2t

Passo 9

Derivando novamente para yp'':
yp'' = C1'(t) e^t + C1(t) e^t + 2 C2'(t) e^2t + 4 C2(t) e^2t

Passo 10

Substituindo yp, yp', e yp'' na equação original:
yp'' - 3yp' + 2yp = t e^3t + 1
Vamos substituir cada termo:
(C1'(t) e^t + C1(t) e^t + 2 C2'(t) e^2t + 4 C2(t) e^2t) - 3(C1(t) e^t + 2 C2(t) e^2t) + 2(C1(t) e^t + C2(t) e^2t) = t e^3t + 1
Simplificando:
C1'(t) e^t + 2 C2'(t) e^2t = t e^3t + 1

Passo 11

Lembrando da condição que impusemos no Passo 7:
C1'(t) e^t + C2'(t) e^2t = 0
Agora temos um sistema de equações:
  1. C1'(t) e^t + C2'(t) e^2t = 0
  2. C1'(t) e^t + 2 C2'(t) e^2t = t e^3t + 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar C1'(t) e C2'(t).

Passo 12

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1'(t) e^t + 2 C2'(t) e^2t) - (C1'(t) e^t + C2'(t) e^2t) = t e^3t + 1 - 0
Simplificando:
C2'(t) e^2t = t e^3t + 1
Então:
C2'(t) = t e^3t + 1e^2t = t e^t + e^-2t

Passo 13

Agora, voltando à primeira equação:
C1'(t) e^t + C2'(t) e^2t = 0
Sabemos que C2'(t) e^2t = t e^3t + 1, então:
C1'(t) e^t = - (t e^3t + 1) C1'(t) = - (t e^2t + e^-t)

Passo 14

Agora, vamos integrar C1'(t) e C2'(t) para encontrar C1(t) e C2(t):
C1(t) = - integral (t e^2t + e^-t) dt C2(t) = integral (t e^t + e^-2t) dt
Vamos calcular essas integrais.

Passo 15

Integrando C1(t):
C1(t) = - ( integral t e^2t dt + integral e^-t dt )
Usando integração por partes para integral t e^2t dt:
Se u = t, du = dt; dv = e^2t dt, v = 12 e^2t
Então:
integral t e^2t dt = t e^2t2 - integral e^2t2 dt = t e^2t2 - e^2t4 + C
E:
integral e^-t dt = - e^-t + C
Portanto:
C1(t) = - ( t e^2t2 - e^2t4 - e^-t ) = -t e^2t2 + e^2t4 + e^-t

Passo 16

Integrando C2(t):
C2(t) = integral (t e^t + e^-2t) dt
Novamente, usando integração por partes para integral t e^t dt:
Se u = t, du = dt; dv = e^t dt, v = e^t
Então:
integral t e^t dt = t e^t - integral e^t dt = t e^t - e^t + C
E:
integral e^-2t dt = -12 e^-2t + C
Portanto:
C2(t) = t e^t - e^t - 12 e^-2t

Passo 17

Agora, substituímos C1(t) e C2(t) na expressão de yp:
yp = C1(t) e^t + C2(t) e^2t
Substituindo:
yp = ( -t e^2t2 + e^2t4 + e^-t ) e^t + ( t e^t - e^t - 12 e^-2t ) e^2t
Simplificando:
yp = -t e^3t2 + e^3t4 + e^0 + t e^3t - e^3t - 12 e^0 = ( -t2 + t ) e^3t + ( 14 - 1 ) e^3t + 1 - 12 = t2 e^3t - 34 e^3t + 12

Passo 18

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 e^t + C2 e^2t + t2 e^3t - 34 e^3t + 12

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2t + t2 e^3t - 34 e^3t + 12
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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