Ache a solução geral de cada uma das
, usando o método de variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação dos parâmetros. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, solução da equação homogênea associada e como aplicar a variação dos parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, a parte sem o lado direito:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que a gente precisa descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Então, a equação fica:
Como
, temos:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções da equação homogênea são
e
.
Passo 5
A solução geral da equação homogênea é uma combinação linear dessas soluções:
Onde
e
são constantes que a gente vai determinar com condições iniciais (se tiver).
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
Vamos usar o método de variação dos parâmetros. Esse método envolve assumir que as constantes
e
são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 7
Assumimos:
Para simplificar os cálculos, impomos que:
Isso nos ajuda a encontrar expressões para
e
.
Passo 8
Calculando as derivadas:
Usando a condição que impusemos:
Então:
Passo 9
Derivando novamente para
:
Passo 10
Substituindo
,
, e
na equação original:
Vamos substituir cada termo:
Simplificando:
Passo 11
Lembrando da condição que impusemos no Passo 7:
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 12
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Então:
Passo 13
Agora, voltando à primeira equação:
Sabemos que
, então:
Passo 14
Agora, vamos integrar
e
para encontrar
e
:
Vamos calcular essas integrais.
Passo 15
Integrando
:
Usando integração por partes para
:
Se
,
;
,
Então:
E:
Portanto:
Passo 16
Integrando
:
Novamente, usando integração por partes para
:
Se
,
;
,
Então:
E:
Portanto:
Passo 17
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 18
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.