Sabendo-se que
e
. lnt formam um conjunto de soluções L.I. para a EDO homogênea
, ache a solução geral da EDO não-homogênea
. lnt
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau que é homogênea e sabe duas soluções dela:
e
. A nossa missão é encontrar a solução geral da mesma equação, mas agora não-homogênea, que tem um termo extra:
. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs lineares, especificamente o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a achar uma solução particular para a parte não-homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da EDO homogênea é uma combinação linear das soluções
e
. Então, temos:
onde
e
são constantes que a gente vai determinar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a EDO não-homogênea:
Como o lado direito da equação é
, que já está presente na solução homogênea, vamos supor uma solução particular na forma:
Aqui,
e
são constantes que a gente precisa determinar. A gente inclui
para garantir que a solução não seja uma solução da homogênea.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
,
e
na EDO não-homogênea:
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, vamos obter um sistema de equações para
e
. Resolver esse sistema nos dá os valores de
e
.
Passo 6
Após resolver o sistema, encontramos que
e
. Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da EDO não-homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.