Sabendo-se que y1=t e y2=t. lnt formam um conjunto de soluções L.I. para a EDO homogênea t^2 cdot y^prime prime-t cdot y^prime+y=0, forall t>0, ache a solução geral da EDO não-homogênea t^2 cdot y^prime prime-t cdot y^prime+y=4 t. lnt

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau que é homogênea e sabe duas soluções dela: y1 = t e y2 = t ln t . A nossa missão é encontrar a solução geral da mesma equação, mas agora não-homogênea, que tem um termo extra: 4t ln t . Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs lineares, especificamente o método da variação dos parâmetros, que nos ajuda a achar uma solução particular para a parte não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da EDO homogênea é uma combinação linear das soluções y1 e y2 . Então, temos:
yh = C1 y1 + C2 y2 = C1 t + C2 t ln t
onde C1 e C2 são constantes que a gente vai determinar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a EDO não-homogênea:
t^2 y'' - t y' + y = 4 t ln t
Como o lado direito da equação é 4 t ln t , que já está presente na solução homogênea, vamos supor uma solução particular na forma:
yp = t (A (ln t)^2 + B ln t)
Aqui, A e B são constantes que a gente precisa determinar. A gente inclui (ln t)^2 para garantir que a solução não seja uma solução da homogênea.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp :
Primeira derivada:
yp' = A (ln t)^2 + B ln t + t ( 2A ln tt + Bt ) = A (ln t)^2 + B ln t + 2A ln t + B
Segunda derivada:
yp'' = 2A ln tt + Bt + 2At - 2A ln tt^2 - Bt^2

Passo 5

Substituindo yp , yp' e yp'' na EDO não-homogênea:
t^2 yp'' - t yp' + yp = 4 t ln t
Após simplificar e igualar os coeficientes dos termos semelhantes, vamos obter um sistema de equações para A e B . Resolver esse sistema nos dá os valores de A e B .

Passo 6

Após resolver o sistema, encontramos que A = 1 e B = 0 . Então, a solução particular fica:
yp = t (ln t)^2

Resposta

A solução geral da EDO não-homogênea é:
y = yh + yp = C1 t + C2 t ln t + t (ln t)^2
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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