Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-2 y^prime=sen(4 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y'' - 2y' = sin(4t)
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado que é uma função seno. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, aquela sem o termo forçado:
y'' - 2y' = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma y = e^rt, onde r é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
y' = r e^rt y'' = r^2 e^rt
Substituindo na EDO:
r^2 e^rt - 2r e^rt = 0 e^rt(r^2 - 2r) = 0
Como e^rt nunca é zero, temos:
r^2 - 2r = 0 r(r - 2) = 0
Então, as raízes são r = 0 e r = 2.

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^0t + C2 e^2t yh(t) = C1 + C2 e^2t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' - 2y' = sin(4t)
Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma solução da forma:
yp(t) = A cos(4t) + B sin(4t)
Onde A e B são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas de yp(t):
yp'(t) = -4A sin(4t) + 4B cos(4t) yp''(t) = -16A cos(4t) - 16B sin(4t)
Substituindo yp, yp' e yp'' na EDO:
(-16A cos(4t) - 16B sin(4t)) - 2(-4A sin(4t) + 4B cos(4t)) = sin(4t)
Simplificando:
-16A cos(4t) - 16B sin(4t) + 8A sin(4t) - 8B cos(4t) = sin(4t)
Agrupando os termos semelhantes:
(-16A - 8B) cos(4t) + (-16B + 8A) sin(4t) = sin(4t)

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todo [t), os coeficientes dos termos cosseno e seno devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo (B = -2A] na segunda equação:
Agora, encontrando :

Passo 8

Então, a solução particular é:
yp(t) = 140 cos(4t) - 120 sin(4t)

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) y(t) = C1 + C2 e^2t + 140 cos(4t) - 120 sin(4t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 + C2 e^2t + 140 cos(4t) - 120 sin(4t)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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