Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo forçado que é uma função seno. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, aquela sem o termo forçado:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo na equação homogênea:
Substituindo na EDO:
Como nunca é zero, temos:
Então, as raízes são e .
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular () para a equação completa:
Usando o método dos coeficientes indeterminados, assumimos uma solução da forma:
Onde e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas de :
Substituindo , e na EDO:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todo [t), os coeficientes dos termos cosseno e seno devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos o sistema:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo (B = -2A] na segunda equação:
Agora, encontrando :
Passo 8
Então, a solução particular é:
yp(t) = 140 cos(4t) - 120 sin(4t)
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: