Ache a solução geral de cada uma das EDO’s, usando o método de variação dos parâmetros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear não homogênea. O enunciado é encontrar a solução geral da EDO:
Para resolver isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de EDOs não homogêneas. Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que se ajusta ao lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica. Suponha que a solução seja da forma . Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo tudo por (que nunca é zero), ficamos com:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções da equação homogênea são:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular () da equação não homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
As soluções da equação homogênea são:
Primeiro, calculamos o Wronskiano () dessas soluções:
u2 = integral u2' , dt = integral e^-2t raizt + 1 , dt
Essas integrais podem ser complexas e, em muitos casos, não possuem soluções em termos de funções elementares. Portanto, expressamos a solução particularyp como:
yp = u1 y1 + u2 y2 = -e^t integral e^-t raizt + 1 , dt + e^2t integral e^-2t raizt + 1 , dt