Ache a solução geral de cada uma das EDO’s, usando o método de variação dos parâmetros:
y^prime prime-3 cdot y^prime+2 y=raizt+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do tipo linear não homogênea. O enunciado é encontrar a solução geral da EDO:
y'' - 3y' + 2y = raizt + 1
Para resolver isso, vamos usar o método de variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de EDOs não homogêneas. Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que se ajusta ao lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para isso, usamos a equação característica. Suponha que a solução seja da forma y = e^rt. Substituindo na equação homogênea, temos:
r^2 e^rt - 3r e^rt + 2 e^rt = 0
Dividindo tudo por e^rt (que nunca é zero), ficamos com:
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - 3r + 2 = (r - 1)(r - 2) = 0 Rightarrow r = 1 ou r = 2
Então, as soluções da equação homogênea são:
yh = C1 e^t + C2 e^2t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) da equação não homogênea usando o método de variação dos parâmetros.
As soluções da equação homogênea são:
y1 = e^t e y2 = e^2t
Primeiro, calculamos o Wronskiano ( W) dessas soluções:
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^t & e^2t e^t & 2e^2t = e^t cdot 2e^2t - e^2t cdot e^t = e^3t
Então, W = e^3t.
Agora, as fórmulas para u1' e u2' são:
u1' = -y2 cdot g(t)W = -e^2t cdot raizt + 1e^3t = -e^-t raizt + 1
u2' = y1 cdot g(t)W = e^t cdot raizt + 1e^3t = e^-2t raizt + 1
Onde g(t) = raizt + 1 é o lado direito da EDO original.

Passo 4

Agora, integramos u1' e u2' para encontrar u1 e u2:
u1 = integral u1' , dt = -integral e^-t raizt + 1 , dt
u2 = integral u2' , dt = integral e^-2t raizt + 1 , dt
Essas integrais podem ser complexas e, em muitos casos, não possuem soluções em termos de funções elementares. Portanto, expressamos a solução particular yp como:
yp = u1 y1 + u2 y2 = -e^t integral e^-t raizt + 1 , dt + e^2t integral e^-2t raizt + 1 , dt

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + C2 e^2t - e^t integral e^-t raizt + 1 , dt + e^2t integral e^-2t raizt + 1 , dt
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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