Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(1+i raiz3)^-10;

Passo 1

O enunciado pede a forma trigonométrica de (1+iraiz3)^-10 e sua representação geométrica. O conteúdo envolvido é a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre, que diz que, se z = rl(costheta + isinthetar), então para qualquer inteiro n vale z^n = r^nl(cos(ntheta)+isin(ntheta)r)

Passo 2

Começamos encontrando a forma trigonométrica de z=1+iraiz3.
O módulo é
r = |z| = raiz1^2+(raiz3)^2 = raiz1+3 = 2
O argumento principal é
theta = arg(z) = arctan!l(tfracraiz31r) = tfracpi3
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1+iraiz3 = 2l(costfracpi3 + isintfracpi3r)

Passo 3

Aplicando o expoente -10 pelo Teorema de De Moivre, obtemos
(1+iraiz3)^-10 = l[2(costfracpi3+isintfracpi3)r]^-10 = 2^-10l(cos(-10cdottfracpi3) + isin(-10cdottfracpi3)r)

Passo 4

Calculamos 2^-10 = tfrac12^10 = tfrac11024. Para o argumento,
-10cdottfracpi3 = -tfrac10pi3
Reduzindo módulo 2pi:
-tfrac10pi3 + 4pi = -tfrac10pi3 + tfrac12pi3 = tfrac2pi3
Assim, o argumento principal de (1+iraiz3)^-10 é tfrac2pi3.

Passo 5

Portanto, a forma trigonométrica final é
(1+iraiz3)^-10 = 11024l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r)
Geometricamente, esse número complexo corresponde a um ponto no plano cuja distância à origem é tfrac11024 e cujo ângulo com o eixo real positivo é 120^circ.

Resposta

(1+iraiz3)^-10 = 11024l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r),
que no plano complexo é o ponto de módulo tfrac11024 e argumento 120^circ.

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