Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular para a equação completa. No final, juntamos essas duas partes para obter a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, supomos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de grau 2 ($ t^2 $), supomos que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Distribuindo e agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
-
Termo $ t^2 $:
-
Termo $ t $:
Substituindo $ A = \frac{1}{2} $:
-
Termo constante:
Substituindo $ A = \frac{1}{2} $ e $ B = -\frac{3}{2} $:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da EDO é: