Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+3 cdot y^prime+2 y=t^2 resp.: y=c1 cdot e^-2 t+c2 cdot e^-t+12 t^2-32 t+74

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método dos coeficientes indeterminados. A equação que temos é:
y'' + 3y' + 2y = t^2
Aqui, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea (onde o lado direito é zero) e uma solução particular para a equação completa. No final, juntamos essas duas partes para obter a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3y' + 2y = 0
Para resolver isso, supomos que a solução tem a forma $ y = e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
y = e^rt
Dividindo por $ e^{rt} $ (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 e^rt + 3r e^rt + 2 e^rt = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
e^rt
Então, a solução geral da equação homogênea é:
r^2 + 3r + 2 = 0
Onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que determinamos com condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa:
yp
Como o lado direito é um polinômio de grau 2 ($ t^2 $), supomos que a solução particular também seja um polinômio de grau 2:
y'' + 3y' + 2y = t^2
Vamos calcular as derivadas de $ y_p $:
t^2
yp = At^2 + Bt + C
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp
Distribuindo e agrupando os termos:
yp' = 2At + B
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  1. Termo $ t^2 $:
    yp'' = 2A
  2. Termo $ t $:
    yp
    Substituindo $ A = \frac{1}{2} $:
    yp'
  3. Termo constante:
    yp''
    Substituindo $ A = \frac{1}{2} $ e $ B = -\frac{3}{2} $:
    2A + 3(2At + B) + 2(At^2 + Bt + C) = t^2
    2A + 6At + 3B + 2At^2 + 2Bt + 2C = t^2
Então, a solução particular é:
t^2

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = c1 e^-2t + c2 e^-t + 12t^2 - 32t + 74

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