Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
2 y^{(4)}+11 y^{\prime \prime \prime}+18 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-8 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes:
2y^{(4)}+11y^{\prime\prime\prime}+18y^{\prime\prime}+4y^\prime-8y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação linear homogênea de ordem 4.
  • Coeficientes constantes: 2,11,18,4,-8.
  • Queremos a solução geral y(x), isto é, a família de todas as soluções da equação.

Passo 2

Método padrão para essas equações: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo y=e^{rx} na equação obtemos a equação característica em r. Vou mostrar o porquê: derivadas de e^{rx} trazem fatores r, por exemplo y^{(4)}=r^4 e^{rx}. Cancelando o fator comum e^{rx}\neq0 ficamos com o polinômio:
2r^4+11r^3+18r^2+4r-8=0.
A solução desta equação polinomial fornece os valores de r que geram as soluções exponenciais e^{rx}.

Passo 3

Vamos buscar raízes racionais do polinômio usando candidatos da forma divisores de -8 sobre divisores de 2: \pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm\frac12,\pm\frac14,\pm\frac82 (na prática os mais prováveis são \pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm\frac12). Testando r=-2:
2(-2)^4+11(-2)^3+18(-2)^2+4(-2)-8 =2\cdot16+11\cdot(-8)+18\cdot4-8-8 =32-88+72-8-8=0.
Portanto r=-2 é raiz. Dividimos o polinômio por (r+2). Usando divisão por coeficientes (síntese):
coeficientes: 2,\;11,\;18,\;4,\;-8 com r=-2 dá quociente de grau 3 com coeficientes 2,\;7,\;4,\;-4. Ou seja:
2r^4+11r^3+18r^2+4r-8=(r+2)(2r^3+7r^2+4r-4).

Passo 4

Agora fatoramos o cúbico 2r^3+7r^2+4r-4. Testando novamente r=-2:
2(-2)^3+7(-2)^2+4(-2)-4=2(-8)+7(4)-8-4=-16+28-8-4=0.
Então r=-2 é raiz do cúbico também. Dividindo o cúbico por (r+2) (síntese) com coeficientes 2,\;7,\;4,\;-4 e r=-2 obtemos o quociente quadrático com coeficientes 2,\;3,\;-2. Assim
2r^3+7r^2+4r-4=(r+2)(2r^2+3r-2),
e portanto
2r^4+11r^3+18r^2+4r-8=(r+2)^2(2r^2+3r-2).

Passo 5

Resolver a quadrática 2r^2+3r-2=0 pela fórmula:
r=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{2\cdot2} =\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4} =\frac{-3\pm5}{4}.
Isso dá r=\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} e r=\dfrac{-3-5}{4}=\dfrac{-8}{4}=-2. Portanto a fatoração completa é
2r^4+11r^3+18r^2+4r-8=2(r+2)^3\left(r-\tfrac{1}{2}\right).
Conclusão sobre as raízes: r=-2 é raiz de multiplicidade 3 e r=\tfrac{1}{2} é raiz simples (multiplicidade 1).

Passo 6

Regra para formar a solução geral:
  • Se r_0 é raiz simples, gera a solução e^{r_0 x}.
  • Se r_0 tem multiplicidade m, gera m soluções linearmente independentes:
e^{r_0 x},\; x e^{r_0 x},\; x^2 e^{r_0 x},\;\dots,\; x^{m-1} e^{r_0 x}.
Exemplo rápido: para y''-2y'+y=0 o polinômio é (r-1)^2, raiz r=1 dupla; solução geral é (C_1+C_2 x)e^{x}.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Para r=-2 com multiplicidade 3 temos as soluções e^{-2x},\; x e^{-2x},\; x^2 e^{-2x}.
  • Para r=\tfrac{1}{2} temos a solução e^{x/2}.

Passo 7

Portanto a solução geral é a combinação linear dessas soluções independentes:
constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3,C_4.

Resposta

y(x)=C_1 e^{-2x}+C_2 x e^{-2x}+C_3 x^2 e^{-2x}+C_4 e^{x/2}

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