Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes:
Informações dadas:
- É uma equação linear homogênea de ordem
. - Coeficientes constantes:
. - Queremos a solução geral
, isto é, a família de todas as soluções da equação.
Passo 2
Método padrão para essas equações: procurar soluções da forma
. Substituindo
na equação obtemos a equação característica em
. Vou mostrar o porquê: derivadas de
trazem fatores
, por exemplo
. Cancelando o fator comum
ficamos com o polinômio:
A solução desta equação polinomial fornece os valores de
que geram as soluções exponenciais
.
Passo 3
Vamos buscar raízes racionais do polinômio usando candidatos da forma divisores de
sobre divisores de
:
(na prática os mais prováveis são
). Testando
:
Portanto
é raiz. Dividimos o polinômio por
. Usando divisão por coeficientes (síntese):
coeficientes: com
dá quociente de grau 3 com coeficientes
. Ou seja:
coeficientes:
Passo 4
Agora fatoramos o cúbico
. Testando novamente
:
Então
é raiz do cúbico também. Dividindo o cúbico por
(síntese) com coeficientes
e
obtemos o quociente quadrático com coeficientes
. Assim
e portanto
Passo 5
Resolver a quadrática
pela fórmula:
Isso dá
e
. Portanto a fatoração completa é
Conclusão sobre as raízes:
é raiz de multiplicidade
e
é raiz simples (multiplicidade
).
Passo 6
Regra para formar a solução geral:
- Se
é raiz simples, gera a solução . - Se
tem multiplicidade , gera soluções linearmente independentes:
Exemplo rápido: para
o polinômio é
, raiz
dupla; solução geral é
.
Aplicando isso ao nosso caso:
- Para
com multiplicidade temos as soluções . - Para
temos a solução .
Passo 7
Portanto a solução geral é a combinação linear dessas soluções independentes:
constantes arbitrárias .
constantes arbitrárias