Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{(4)}-4 y^{\prime \prime}=8 \operatorname{sen} 4 x.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y^{(4)}-4y''=8\sin 4x.
Informações dadas e o que se pede:
  • É uma equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 8\sin 4x.
  • O objetivo é achar a solução geral, isto é, a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada: colocamos o lado direito igual a zero:
y^{(4)}-4y''=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a polinomial em r:
r^{4}-4r^{2}=0.
Fatorando:
r^{2}(r^{2}-4)=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=0 \\ \text{ou}\\ r^{2}=4.
Logo as raízes são r=0 (multiplicidade 2), r=2 e r=-2.

Passo 3

Converter as raízes em soluções fundamentais da homogênea:
  • Para raiz r=0 com multiplicidade 2 as soluções são 1 e x.
  • Para raízes r=2 e r=-2 as soluções são e^{2x} e e^{-2x}.
    Portanto a solução geral da homogênea é
y_c = C_{1} + C_{2}x + C_{3}e^{2x} + C_{4}e^{-2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p para a equação completa
y^{(4)}-4y''=8\sin 4x.
Método escolhido: coeficientes a determinar (ansatz). Como o termo forçante é uma combinação de \sin 4x e \cos 4x, tentamos uma solução particular da forma
y_p = A\cos 4x + B\sin 4x,
com A,B constantes a determinar.
Antes de aplicar, checamos ressonância: se \pm 4i fossem raízes da característica, teríamos que multiplicar por potências de x. A equação característica tinha raízes 0,0,2,-2, ou seja, não tem \pm 4i. Portanto a forma escolhida não precisa ser multiplicada por x.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias de y_p. Observação útil: para funções \cos 4x e \sin 4x vale \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}(\cdot)=-16(\cdot). Assim,
y_p''=-16y_p \quad\text{e}\quad y_p^{(4)}=(-16)^{2}y_p=256y_p.
Substituindo na equação diferencial:
y_p^{(4)}-4y_p''=256y_p-4(-16y_p)=256y_p+64y_p=320y_p.
Como y_p=A\cos 4x+B\sin 4x, temos
320(A\cos 4x + B\sin 4x)=8\sin 4x.
Comparando coeficientes de \cos 4x e \sin 4x:
320A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0,
320B=8 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{8}{320}=\frac{1}{40}.
Portanto
y_p=\frac{1}{40}\sin 4x.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea y_c e da particular y_p. (Na seção de resposta final abaixo eu escrevo essa soma explícita.)

Resposta

y=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{2x}+C_{4}e^{-2x}+\frac{1}{40}\sin 4x

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