Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- É uma equação diferencial linear de ordem
com coeficientes constantes. - O termo não-homogêneo é
. - O objetivo é achar a solução geral, isto é, a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada: colocamos o lado direito igual a zero:
Para equações lineares com coeficientes constantes, usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos a polinomial em
:
Fatorando:
Logo as raízes são
(multiplicidade
),
e
.
Passo 3
Converter as raízes em soluções fundamentais da homogênea:
- Para raiz
com multiplicidade as soluções são e . - Para raízes
e as soluções são e .
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular
para a equação completa
Método escolhido: coeficientes a determinar (ansatz). Como o termo forçante é uma combinação de
e
, tentamos uma solução particular da forma
com
constantes a determinar.
Antes de aplicar, checamos ressonância: se
fossem raízes da característica, teríamos que multiplicar por potências de
. A equação característica tinha raízes
, ou seja, não tem
. Portanto a forma escolhida não precisa ser multiplicada por
.
Passo 5
Calcular as derivadas necessárias de
. Observação útil: para funções
e
vale
. Assim,
Substituindo na equação diferencial:
Como
, temos
Comparando coeficientes de
e
:
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da particular
. (Na seção de resposta final abaixo eu escrevo essa soma explícita.)