Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{(5)}-15 y^{(4)}+84 y^{(3)}-220 y^{\prime \prime}+275 y^{\prime}-125 y=0.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem cinco dada por
y^{(5)}-15\,y^{(4)}+84\,y^{(3)}-220\,y^{\prime\prime}+275\,y^{\prime}-125\,y=0.
Informações relevantes fornecidas:
\text{equação homogênea de ordem }5\quad\text{com coeficientes constantes.}çãê
O que precisamos fornecer: a expressão geral de y(x) que contém cinco constantes arbitrárias (porque é uma EDO de 5ª ordem).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): tentar uma solução da forma y=e^{r x}. Por que isso funciona? Porque derivadas de e^{r x} são múltiplos de e^{r x}: y'=r e^{r x}, y''=r^2 e^{r x}, etc. Substituindo na equação, todas as parcelas ficam com fator comum e^{r x}, que é não nulo, então obtemos uma equação polinomial em r — o chamado polinômio característico. Vamos fazer isso passo a passo.
Substituindo y=e^{r x} e as derivadas:
y^{(5)}=r^5 e^{r x},\quad y^{(4)}=r^4 e^{r x},\quad y^{(3)}=r^3 e^{r x},\quad y^{\prime\prime}=r^2 e^{r x},\quad y^{\prime}=r e^{r x}.
Fatorando e^{r x} da equação original obtemos o polinômio característico
r^5-15r^4+84r^3-220r^2+275r-125=0.

Passo 3

Procurar raízes do polinômio característico. Como os coeficientes são inteiros e o termo independente é -125, bons candidatos inteiros são divisores de 125: \pm1,\pm5,\pm25,\pm125. Vamos testar alguns.
Testando r=1:
1-15+84-220+275-125=0,
logo r=1 é raiz. Então (r-1) é fator. Fazemos a divisão sintética (ou divisão de polinômios) do polinômio por (r-1). Coeficientes iniciais: 1,\,-15,\,84,\,-220,\,275,\,-125.
Divisão sintética com r=1:
traço: 1 → multiplicar por 1 1 → somar a -15 -14 → multiplicar por 1 -14 → somar a 84 70 → multiplicar por 1 70 → somar a -220 -150 → multiplicar por 1 -150 → somar a 275 125 → multiplicar por 1 125 → somar a -125 0.
Quociente obtido (coeficientes) corresponde a
r^4-14r^3+70r^2-150r+125.
Portanto
r^5-15r^4+84r^3-220r^2+275r-125=(r-1)\bigl(r^4-14r^3+70r^2-150r+125\bigr).

Passo 4

Continuar fatorando o polinômio quarto grau. Testamos r=5 (outro divisor provável):
Avaliação em r=5:
5^4-14\cdot5^3+70\cdot5^2-150\cdot5+125 =625-1750+1750-750+125=0,
logo r=5 é raiz. Dividindo o quarto grau por (r-5) (divisão sintética):
Coeficientes: 1,\,-14,\,70,\,-150,\,125.
Divisão sintética com r=5:
traço: 1 → *5 = 5 → somar a -14 -9 → *5 = -45 → somar a 70 25 → *5 = 125 → somar a -150 -25 → *5 = -125 → somar a 125 0.
Quociente (grau 3):
r^3-9r^2+25r-25.
Até aqui
\text{polinômio original}=(r-1)(r-5)\bigl(r^3-9r^2+25r-25\bigr).ô

Passo 5

Testar r=5 novamente no cúbico (pode ser raiz repetida):
5^3-9\cdot5^2+25\cdot5-25=125-225+125-25=0,
portanto r=5 é raiz dupla. Dividimos o cúbico por (r-5):
Coeficientes do cúbico: 1,\,-9,\,25,\,-25.
Divisão sintética com r=5:
traço: 1 → *5 = 5 → somar a -9 -4 → *5 = -20 → somar a 25 5 → *5 = 25 → somar a -25 0.
Quociente (grau 2):
r^2-4r+5.
Agora temos fatoração completa sobre \mathbb{C}:
r^5-15r^4+84r^3-220r^2+275r-125=(r-1)(r-5)^2(r^2-4r+5).

Passo 6

Resolver a quadrática restante r^2-4r+5=0. Aplicando a fórmula quadrática:
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}.
Portanto
r=2\pm i.
Essas são raízes complexas conjugadas. Lembrete didático: uma raiz real simples r=a contribui com termo C e^{a x}. Uma raiz real de multiplicidade m contribui com e^{a x} multiplicado por polinômios em x de grau até m-1: e^{a x}(C_1 + C_2 x + \cdots + C_m x^{m-1}). Uma conjugada complexa a\pm i b gera termos reais e^{a x}\cos(bx) e e^{a x}\sin(bx).
Aplicando isso ao nosso caso:
  • raiz r=1 simples → termo C_1 e^{x}.
  • raiz r=5 de multiplicidade 2 → termos C_2 e^{5x} e C_3 x e^{5x}.
  • raízes r=2\pm i → termos e^{2x}\bigl(C_4\cos x + C_5\sin x\bigr).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{5x}+C_{3}x e^{5x}+e^{2x}\bigl(C_{4}\cos x+C_{5}\sin x\bigr)

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