Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem cinco dada por
Informações relevantes fornecidas:
O que precisamos fornecer: a expressão geral de
que contém cinco constantes arbitrárias (porque é uma EDO de 5ª ordem).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): tentar uma solução da forma
. Por que isso funciona? Porque derivadas de
são múltiplos de
:
,
, etc. Substituindo na equação, todas as parcelas ficam com fator comum
, que é não nulo, então obtemos uma equação polinomial em
— o chamado polinômio característico. Vamos fazer isso passo a passo.
Substituindo
e as derivadas:
Fatorando
da equação original obtemos o polinômio característico
Passo 3
Procurar raízes do polinômio característico. Como os coeficientes são inteiros e o termo independente é
, bons candidatos inteiros são divisores de
:
. Vamos testar alguns.
Testando
:
logo
é raiz. Então
é fator. Fazemos a divisão sintética (ou divisão de polinômios) do polinômio por
. Coeficientes iniciais:
.
Divisão sintética com
:
traço: → multiplicar por
→
→ somar a
→
→ multiplicar por
→
→ somar a
→
→ multiplicar por
→
→ somar a
→
→ multiplicar por
→
→ somar a
→
→ multiplicar por
→
→ somar a
→
.
traço:
Quociente obtido (coeficientes) corresponde a
Portanto
Passo 4
Continuar fatorando o polinômio quarto grau. Testamos
(outro divisor provável):
Avaliação em
:
logo
é raiz. Dividindo o quarto grau por
(divisão sintética):
Coeficientes:
.
Divisão sintética com
:
traço: → *5 =
→ somar a
→
→ *5 =
→ somar a
→
→ *5 =
→ somar a
→
→ *5 =
→ somar a
→
.
traço:
Quociente (grau 3):
Até aqui
Passo 5
Testar
novamente no cúbico (pode ser raiz repetida):
portanto
é raiz dupla. Dividimos o cúbico por
:
Coeficientes do cúbico:
.
Divisão sintética com
:
traço: → *5 =
→ somar a
→
→ *5 =
→ somar a
→
→ *5 =
→ somar a
→
.
traço:
Quociente (grau 2):
Agora temos fatoração completa sobre
:
Passo 6
Resolver a quadrática restante
. Aplicando a fórmula quadrática:
Portanto
Essas são raízes complexas conjugadas. Lembrete didático: uma raiz real simples
contribui com termo
. Uma raiz real de multiplicidade
contribui com
multiplicado por polinômios em
de grau até
:
. Uma conjugada complexa
gera termos reais
e
.
Aplicando isso ao nosso caso:
- raiz
simples → termo . - raiz
de multiplicidade → termos e . - raízes
→ termos .