Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(3x^{2}-2xy+2)\,dx + (6y^{2}-x^{2}+3)\,dy = 0
é exata e, se for, resolver (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
As informações dadas são os dois coeficientes das diferenciais: M(x,y)=3x^{2}-2xy+2 (multiplicando dx) e N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3 (multiplicando dy).
O que precisamos responder: (1) verificar exatidão; (2) quando exata, encontrar a função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,dx+N\,dy, e dar a solução geral \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Conceito e critério de exatidão (mini-aula):
  • Uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0é exata se existe uma função \Phi(x,y) com derivadas parciais contínuas tais que \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
  • Um critério prático (para domínios simplesmente conexos) é verificar se as derivadas parciais mistas coincidem: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.Se isso vale, a equação é exata. Isso vem da igualdade das derivadas mistas de \Phi: \Phi_{xy}=\Phi_{yx}.
Agora aplicamos isso ao nosso M e N.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
  • Calculemos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}. Como M(x,y)=3x^{2}-2xy+2, tratando x como constante ao derivar em relação a y, \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-2xy+2) = -2x.
  • Calculemos \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}. Como N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3, tratando y como constante ao derivar em relação a x, \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(6y^{2}-x^{2}+3) = -2x.
Comparando, temos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = -2x = \frac{\partial N}{\partial x}. Logo a equação é exata.

Passo 4

Método para resolver quando é exata (mini-aula prática):
  • Como \Phi_x=M, integramos M em relação a x (tratando y como constante) para obter \Phi(x,y) até uma função arbitrária de y, digamos h(y): \Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int (3x^{2}-2xy+2)\,dx + h(y).
  • Vamos calcular essa integral passo a passo: \int 3x^{2}\,dx = x^{3},
\int (-2xy)\,dx = -2y\int x\,dx = -2y\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}y,
\int 2\,dx = 2x.
Somando e lembrando da função h(y),
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x + h(y).

Passo 5

Determinar h(y) usando \Phi_{y}=N (mini-aula sobre por que funciona):
  • Diferenciamos \Phi(x,y) em relação a y: \Phi_{y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}-x^{2}y+2x + h(y)) = -x^{2} + h'(y).
  • Devemos ter \Phi_{y}=N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3. Igualando: -x^{2} + h'(y) = 6y^{2}-x^{2}+3.Cancelando -x^{2} dos dois lados, obtemos h'(y) = 6y^{2}+3.
  • Integramos h'(y) em relação a y: h(y) = \int (6y^{2}+3)\,dy = 6\cdot\frac{y^{3}}{3} + 3y = 2y^{3}+3y + C_{1}.Podemos absorver a constante C_{1} na constante final de \Phi= constante, então usaremos h(y)=2y^{3}+3y.

Passo 6

Escrever a função potencial completa e a solução geral:
  • Substituindo h(y) em \Phi, \Phi(x,y) = x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y.
  • A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y) = C,onde C é constante arbitrária. Podemos escrever explicitamente: x^{3} - x^{2}y + 2x + 2y^{3} + 3y = C.
  • (Verificação rápida: derivando essa \Phi obtemos exatamente M e N, como requerido.)

Resposta

x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=C

Exercícios relacionados