Verifique se cada uma das equações a seguir é exata. E, caso afirmativo, resolva-a.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolver (ou seja, encontrar a solução geral implícita).
As informações dadas são os dois coeficientes das diferenciais: (multiplicando
) e
(multiplicando
).
O que precisamos responder: (1) verificar exatidão; (2) quando exata, encontrar a função potencial tal que
, e dar a solução geral
.
As informações dadas são os dois coeficientes das diferenciais:
O que precisamos responder: (1) verificar exatidão; (2) quando exata, encontrar a função potencial
Passo 2
Conceito e critério de exatidão (mini-aula):
- Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função com derivadas parciais contínuas tais que - Um critério prático (para domínios simplesmente conexos) é verificar se as derivadas parciais mistas coincidem:
Se isso vale, a equação é exata. Isso vem da igualdade das derivadas mistas de : .
Agora aplicamos isso ao nosso
e
.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais:
- Calculemos
. Como , tratando como constante ao derivar em relação a , - Calculemos
. Como , tratando como constante ao derivar em relação a ,
Comparando, temos
. Logo a equação é exata.
Passo 4
Método para resolver quando é exata (mini-aula prática):
- Como
, integramos em relação a (tratando como constante) para obter até uma função arbitrária de , digamos : - Vamos calcular essa integral passo a passo:
Somando e lembrando da função
,
Passo 5
Determinar
usando
(mini-aula sobre por que funciona):
- Diferenciamos
em relação a : - Devemos ter
. Igualando: Cancelando dos dois lados, obtemos - Integramos
em relação a : Podemos absorver a constante na constante final de constante, então usaremos .
Passo 6
Escrever a função potencial completa e a solução geral:
- Substituindo
em , - A solução geral implícita da equação exata é
onde é constante arbitrária. Podemos escrever explicitamente: - (Verificação rápida: derivando essa
obtemos exatamente e , como requerido.)