Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
x y^{\prime}=y+4 x^{5} \cos 2\left(\frac{y}{x}\right), y(2)=0.

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pela condição inicial:
x\,y'(x)=y(x)+4x^{5}\cos\!\bigl(2\frac{y(x)}{x}\bigr), \qquad y(2)=0.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação envolve y e \frac{y}{x} dentro de um cosseno.
  • A condição inicial é y(2)=0.
  • Queremos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Observação que guia a solução (sem resolver ainda): a presença de \frac{y}{x} dentro de \cos sugere fazer a substituição
v(x)=\frac{y(x)}{x}.
Isso é útil porque transforma a dependência em \frac{y}{x} numa dependência direta em v. Agora precisamos escrever y' em termos de v e v'. Como y(x)=xv(x), derivando temos
y'(x)=v(x)+x\,v'(x).
Vou usar isso para substituir na equação original.

Passo 3

Substituo y e y' na equação original:
x\bigl(v + x v'\bigr)=xv + 4x^{5}\cos(2v).
Agora desenvolvo e simplifico os termos. O lado esquerdo é xv + x^{2}v'. Subtraindo xv dos dois lados cancela os termos lineares em v, ficando
x^{2}v'(x)=4x^{5}\cos(2v).

Passo 4

Divido por x^{2} (assumindo x\neq 0, o que é compatível com a condição inicial x=2) para isolar v':
v'(x)=4x^{3}\cos(2v).
Escrevo como derivada e separo as variáveis (método de equações separáveis): passo todos os termos com v para um lado e os com x para o outro:
\frac{dv}{\cos(2v)}=4x^{3}\,dx.
Note que \frac{1}{\cos(2v)} é a função \operatorname{sec}(2v). Agora integramos ambos os lados.

Passo 5

Calculo as integrais. No lado esquerdo temos \int \operatorname{sec}(2v)\,dv. Faço a substituição auxiliar u=2v, então du=2\,dv ou dv=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int \operatorname{sec}(2v)\,dv=\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(u)\,du.
Recordando a primitiva clássica \int \operatorname{sec}(u)\,du=\ln\bigl|\operatorname{sec} u+\tan u\bigr|+C, obtemos
\int \operatorname{sec}(2v)\,dv=\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)\bigr|+C.
No lado direito:
\int 4x^{3}\,dx = x^{4}+C.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes num único C), temos
\frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)\bigr|=x^{4}+C.

Passo 6

Multiplico por 2 e exponencio para eliminar o logaritmo:
\ln\bigl|\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)\bigr|=2x^{4}+C_{1}
\bigl|\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)\bigr|=C_{2}e^{2x^{4}},
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Agora aplico a condição inicial para determinar C_{2}. Para x=2 sabemos y(2)=0, então
v(2)=\frac{y(2)}{2}=0.
Substituo x=2 e v=0 na expressão anterior. Como \operatorname{sec}(0)=1 e \tan(0)=0, o lado esquerdo vale 1. Assim
1=C_{2}e^{2\cdot 2^{4}}=C_{2}e^{32},
logo
C_{2}=e^{-32}.
Substituindo de volta:
\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)=e^{-32}e^{2x^{4}}=e^{2(x^{4}-16)}.

Passo 7

Agora resolvo para v explicitamente. Para abreviar, defino
s=2\bigl(x^{4}-16\bigr),
de modo que
\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)=e^{s}.
Uma identidade útil é que (\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta)=1 (porque \operatorname{sec}^{2}\theta-\tan^{2}\theta=1). Então
\operatorname{sec}(2v)-\tan(2v)=e^{-s}.
Somando as duas equações obtemos
2\operatorname{sec}(2v)=e^{s}+e^{-s}=2\operatorname{cosh}(s),
ou seja
\operatorname{sec}(2v)=\operatorname{cosh}(s).
Subtraindo as equações obtemos
2\tan(2v)=e^{s}-e^{-s}=2\operatorname{sinh}(s),
ou seja
\tan(2v)=\operatorname{sinh}(s).
Agora isolamos v:
2v=\arctan\!\bigl(\operatorname{sinh}(s)\bigr), \qquad v=\tfrac{1}{2}\arctan\!\bigl(\operatorname{sinh}(s)\bigr).
A escolha da rama da função \arctan é contínua e consistente com v(2)=0, pois para x=2 temos s=0 e \arctan(\operatorname{sinh} 0)=0.

Passo 8

Voltando à variável original y(x)=xv(x), substituo v. Lembrando s=2(x^{4}-16), obtemos a solução explícita:
y(x)=\frac{x}{2}\,\arctan\!\bigl(\operatorname{sinh}\bigl(2(x^{4}-16)\bigr)\bigr).
Posso verificar rapidamente a condição inicial: para x=2 temos 2(x^{4}-16)=0, \operatorname{sinh}(0)=0, \arctan(0)=0, então y(2)=\tfrac{2}{2}\cdot 0=0, compatível.

Resposta

y(x)=\frac{x}{2}\,\arctan\!\bigl(\operatorname{sinh}\bigl(2(x^{4}-16)\bigr)\bigr).

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