A equação envolve y e \frac{y}{x} dentro de um cosseno.
A condição inicial é y(2)=0.
Queremos encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Observação que guia a solução (sem resolver ainda): a presença de \frac{y}{x} dentro de \cos sugere fazer a substituição
v(x)=\frac{y(x)}{x}.
Isso é útil porque transforma a dependência em \frac{y}{x} numa dependência direta em v. Agora precisamos escrever y' em termos de v e v'. Como y(x)=xv(x), derivando temos
y'(x)=v(x)+x\,v'(x).
Vou usar isso para substituir na equação original.
Passo 3
Substituo y e y' na equação original:
x\bigl(v + x v'\bigr)=xv + 4x^{5}\cos(2v).
Agora desenvolvo e simplifico os termos. O lado esquerdo é xv + x^{2}v'. Subtraindo xv dos dois lados cancela os termos lineares em v, ficando
x^{2}v'(x)=4x^{5}\cos(2v).
Passo 4
Divido por x^{2} (assumindo x\neq 0, o que é compatível com a condição inicial x=2) para isolar v':
v'(x)=4x^{3}\cos(2v).
Escrevo como derivada e separo as variáveis (método de equações separáveis): passo todos os termos com v para um lado e os com x para o outro:
\frac{dv}{\cos(2v)}=4x^{3}\,dx.
Note que \frac{1}{\cos(2v)} é a função \operatorname{sec}(2v). Agora integramos ambos os lados.
Passo 5
Calculo as integrais. No lado esquerdo temos \int \operatorname{sec}(2v)\,dv. Faço a substituição auxiliar u=2v, então du=2\,dv ou dv=\tfrac{1}{2}du. Assim
Agora resolvo para v explicitamente. Para abreviar, defino
s=2\bigl(x^{4}-16\bigr),
de modo que
\operatorname{sec}(2v)+\tan(2v)=e^{s}.
Uma identidade útil é que (\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)(\operatorname{sec}\theta-\tan\theta)=1 (porque \operatorname{sec}^{2}\theta-\tan^{2}\theta=1). Então