Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
y^{\prime}+y \cos x=\sin 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'+y\cos x=\sin 2x.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Não há condição inicial — quer-se a solução geral com constante arbitrária.
  • A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (aparece y' e y apenas).

Passo 2

Vamos transformar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y'+P(x)\,y=Q(x).
Aqui, comparando, tem-se
P(x)=\cos x,\qquad Q(x)=\sin 2x.
A estratégia padrão para esse tipo é usar o fator integrante. Vou explicar o que é isso antes de aplicar.

Passo 3

Mini-aula: fator integrante.
  • Para a equação y'+P(x)y=Q(x), multiplica-se tudo por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y(x).
  • Queremos \mu y'+\mu P y=(\mu y)'. Mas (\mu y)'=\mu' y+\mu y'. Igualando termos com \mu P y obtemos a condição \mu'=\mu P.
  • Essa é uma equação separável simples cuja solução é
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int P(x)\,dx\bigg).
  • Depois de achar \mu, escreve-se (\mu y)'=\mu Q e integra-se ambos os lados para obter y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para P(x)=\cos x:
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int \cos x\,dx\bigg)=\exp(\sin x)=e^{\sin x}.

Passo 5

Multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{\sin x} obtemos
e^{\sin x}y'+e^{\sin x}y\cos x = e^{\sin x}\sin 2x.
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de y e^{\sin x}, logo
\big(y e^{\sin x}\big)' = e^{\sin x}\sin 2x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
y e^{\sin x}=\int e^{\sin x}\sin 2x\,dx + C,
com C constante arbitrária. Agora calculamos a integral
\int e^{\sin x}\sin 2x\,dx.
Usamos \sin 2x=2\sin x\cos x, logo a integral vira
\int e^{\sin x}\sin 2x\,dx = 2\int e^{\sin x}\sin x\cos x\,dx.

Passo 7

Fazemos a substituição u=\sin x. Então du=\cos x\,dx. Assim
2\int e^{\sin x}\sin x\cos x\,dx = 2\int u e^{u}\,du.
Agora integramos por partes a integral \int u e^{u}\,du. Usando a fórmula \int v\,dw = v w - \int w\,dv, com v=u e dw=e^{u}du (portanto w=e^{u} e dv=du), obtemos
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\,du = u e^{u} - e^{u} + C = (u-1)e^{u} + C.
Multiplicando por 2 e voltando a x (lembre que u=\sin x e e^{u}=e^{\sin x}) dá
\int e^{\sin x}\sin 2x\,dx = 2(\sin x-1)e^{\sin x} + C.

Passo 8

Voltando para a expressão de y:
y e^{\sin x} = 2(\sin x-1)e^{\sin x} + C.
Dividindo por e^{\sin x} obtemos a solução geral
y = 2(\sin x-1) + C e^{-\sin x}.
Podemos escrever de forma expandida:
y(x)=2\sin x - 2 + C e^{-\sin x},
com C constante arbitrária.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando y obtém-se
y' = 2\cos x - C\cos x\,e^{-\sin x}.
Então
y'+y\cos x = \big(2\cos x - C\cos x\,e^{-\sin x}\big) + \big(2\sin x-2+Ce^{-\sin x}\big)\cos x = 2\sin x\cos x = \sin 2x,
confirmando que a solução satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=2\sin x-2+Ce^{-\sin x}, onde C é constante arbitrária.

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