Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - Não há condição inicial — quer-se a solução geral com constante arbitrária.
- A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem (aparece
e apenas).
Passo 2
Vamos transformar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, comparando, tem-se
A estratégia padrão para esse tipo é usar o fator integrante. Vou explicar o que é isso antes de aplicar.
Passo 3
Mini-aula: fator integrante.
- Para a equação
, multiplica-se tudo por uma função tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto . - Queremos
. Mas . Igualando termos com obtemos a condição . - Essa é uma equação separável simples cuja solução é
- Depois de achar
, escreve-se e integra-se ambos os lados para obter .
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
Passo 5
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
, logo
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
com
constante arbitrária. Agora calculamos a integral
Usamos
, logo a integral vira
Passo 7
Fazemos a substituição
. Então
. Assim
Agora integramos por partes a integral
. Usando a fórmula
, com
e
(portanto
e
), obtemos
Multiplicando por
e voltando a
(lembre que
e
) dá
Passo 8
Voltando para a expressão de
:
Dividindo por
obtemos a solução geral
Podemos escrever de forma expandida:
com
constante arbitrária.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando
obtém-se
Então
confirmando que a solução satisfaz a equação.