Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais :
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A derivada aparece como
. - Queremos encontrar a família de soluções (solução geral), contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escrever a equação de uma forma que fique clara a presença de derivadas de potências de
. Escrevendo explicitamente
, a equação fica
Note que aparece o produto
, que lembra a derivada de
. Vamos explorar isso no próximo passo.
Passo 3
Lembrete (fórmula útil): a derivada de
em relação a
é
Usando essa observação, multiplicando por
obtemos
Assim, a parte
da equação é exatamente
.
Passo 4
Definimos a substituição auxiliar
Com isso, pelo que vimos,
e portanto a equação original pode ser reescrita substituindo
e
. Assim obtemos a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Para resolver a equação linear
vamos usar o fator integrante. Lembrete (teoria): para a equação
o fator integrante é
. Multiplicando a equação por
a esquerda fica a derivada de
.
Aqui
, então
Para simplicidade (e considerando
) podemos tomar
(o sinal absoluto apenas afeta o sinal da constante de integração).
Passo 6
Multiplicando a equação por
obtemos
A expressão da esquerda é precisamente a derivada de
, pois
Portanto
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolando
obtemos
Voltando à substituição
, temos
Tomando a raiz cúbica (existente para números reais), a solução geral é
onde
é constante arbitrária real e a solução está definida para
.
Passo 8
Observações finais e domínio:
- A solução geral pode ser escrita também como
. - É necessário
porque durante a resolução surgiram divisões por . - A raiz cúbica é única no conjunto dos números reais (aceita sinais), então não é necessário separar casos de mais de uma raiz no caso real.