Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais :
3 x y^{2} y^{\prime}+3 y^{3}=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial dada. A equação fornecida é
3 x y^{2} y^{\prime}+3 y^{3}=1.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A derivada aparece como y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • Queremos encontrar a família de soluções (solução geral), contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escrever a equação de uma forma que fique clara a presença de derivadas de potências de y. Escrevendo explicitamente y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}, a equação fica
3x y^{2}\frac{dy}{dx}+3y^{3}=1.
Note que aparece o produto 3y^{2}\dfrac{dy}{dx}, que lembra a derivada de y^{3}. Vamos explorar isso no próximo passo.

Passo 3

Lembrete (fórmula útil): a derivada de y^{3} em relação a x é
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\frac{dy}{dx}.
Usando essa observação, multiplicando por x obtemos
x\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=x\cdot 3y^{2}\frac{dy}{dx}=3x y^{2}\frac{dy}{dx}.
Assim, a parte 3x y^{2}y^{\prime} da equação é exatamente x\frac{d}{dx}(y^{3}).

Passo 4

Definimos a substituição auxiliar
u(x)=y^{3}(x).
Com isso, pelo que vimos,
\frac{du}{dx}=3y^{2}\frac{dy}{dx},
e portanto a equação original pode ser reescrita substituindo 3x y^{2}y^{\prime}=x\frac{du}{dx} e 3y^{3}=3u. Assim obtemos a equação para u:
x\frac{du}{dx}+3u=1.
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para u(x).

Passo 5

Para resolver a equação linear
\frac{du}{dx}+\frac{3}{x}u=\frac{1}{x}
vamos usar o fator integrante. Lembrete (teoria): para a equação
\frac{du}{dx}+P(x)u=Q(x)
o fator integrante é \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda fica a derivada de \mu(x)u.
Aqui P(x)=\dfrac{3}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(3\ln|x|\right)=|x|^{3}.
Para simplicidade (e considerando x\neq0) podemos tomar \mu(x)=x^{3} (o sinal absoluto apenas afeta o sinal da constante de integração).

Passo 6

Multiplicando a equação por x^{3} obtemos
x^{3}\frac{du}{dx}+3x^{2}u=x^{2}.
A expressão da esquerda é precisamente a derivada de x^{3}u, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}u\bigr)=3x^{2}u+x^{3}\frac{du}{dx}.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}u\bigr)=x^{2}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{3}u=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolando u obtemos
u=\frac{1}{3}+\frac{C}{x^{3}}.
Voltando à substituição u=y^{3}, temos
y^{3}=\frac{1}{3}+\frac{C}{x^{3}}.
Tomando a raiz cúbica (existente para números reais), a solução geral é
y(x)=\left(\frac{1}{3}+\frac{C}{x^{3}}\right)^{1/3},
onde C é constante arbitrária real e a solução está definida para x\neq0.

Passo 8

Observações finais e domínio:
  • A solução geral pode ser escrita também como y^{3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{C}{x^{3}}.
  • É necessário x\neq0 porque durante a resolução surgiram divisões por x.
  • A raiz cúbica é única no conjunto dos números reais (aceita sinais), então não é necessário separar casos de mais de uma raiz no caso real.

Resposta

y(x)=\displaystyle\left(\frac{1}{3}+\frac{C}{x^{3}}\right)^{1/3}

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