Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais :
Passo 1
O enunciado pede achar a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação é uma EDO de primeira ordem não-linear envolvendo potências de
. - Deve ser encontrada a família geral de soluções (constante(s) de integração incluída(s)).
- É preciso considerar também soluções singulares que possam surgir (por exemplo
).
Passo 2
Vamos reconhecer a estrutura útil da equação e escolher uma técnica que a simplifique. A equação tem a forma
com
,
e
. Há um método padrão para esse tipo (chamado método de Bernoulli): fazer a substituição
Aqui
, portanto definimos
Essa substituição transforma a equação não-linear numa equação linear para
. Vou mostrar passo a passo como isso acontece.
Passo 3
Calcular
em função de
. Como
, pela regra da cadeia:
Substituindo
e
na equação original:
Agora, se
(ou seja,
), podemos dividir por
para simplificar:
Observação importante: o caso
corresponde a
, que é uma solução da EDO (verificação direta:
). Tratar isso separadamente é necessário porque dividimos por
acima.
Passo 4
A equação obtida para
é linear de primeira ordem. Reescrevendo:
Para resolver uma EDO linear
usamos o fator integrante
Aqui
é constante, então
Multiplicando a equação por
obtemos uma derivada exata:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Calcular a integral por partes: seja
e
. Então
e
. Assim
Portanto
Dividindo por
obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
, lembrando
, temos
Elevando ambos os lados ao cubo:
onde
é a constante de integração. Além disso, como observado no Passo 3, existe a solução singular
Comentários sobre domínio: a operação de cubo e da raiz cúbica é bem definida para números reais negativos também, então a família escrita com
cobre soluções que mudam de sinal; a derivação dividiu por
, portanto tratamos
separadamente, mas a expressão final para
continua válida mesmo que em alguns pontos o fator dentro do parênteses se anule.