Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais :
y^{\prime}+y=x y^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede achar a solução geral da equação diferencial ordinária de primeira ordem
y^{\prime}+y=x\,y^{2/3}.
Informações dadas:
  • A equação é uma EDO de primeira ordem não-linear envolvendo potências de y.
  • Deve ser encontrada a família geral de soluções (constante(s) de integração incluída(s)).
  • É preciso considerar também soluções singulares que possam surgir (por exemplo y\equiv0).

Passo 2

Vamos reconhecer a estrutura útil da equação e escolher uma técnica que a simplifique. A equação tem a forma
y'+P(x)y=Q(x)y^{n},
com P(x)=1, Q(x)=x e n=\tfrac{2}{3}. Há um método padrão para esse tipo (chamado método de Bernoulli): fazer a substituição
u=y^{1-n}.
Aqui 1-n=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}, portanto definimos
u=y^{1/3}.
Essa substituição transforma a equação não-linear numa equação linear para u. Vou mostrar passo a passo como isso acontece.

Passo 3

Calcular y' em função de u. Como y=u^{3}, pela regra da cadeia:
y'=3u^{2}u'.
Substituindo y e y' na equação original:
3u^{2}u' + u^{3} = x\,u^{2}.
Agora, se u\neq0 (ou seja, y\neq0), podemos dividir por u^{2} para simplificar:
3u' + u = x.
Observação importante: o caso u\equiv0 corresponde a y\equiv0, que é uma solução da EDO (verificação direta: 0+0=x\cdot0). Tratar isso separadamente é necessário porque dividimos por u^{2} acima.

Passo 4

A equação obtida para u é linear de primeira ordem. Reescrevendo:
u' + \tfrac{1}{3}u = \tfrac{x}{3}.
Para resolver uma EDO linear u' + a(x)u = b(x) usamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int a(x)\,dx\Big).
Aqui a(x)=\tfrac{1}{3} é constante, então
\mu(x)=e^{\int \tfrac{1}{3}\,dx}=e^{x/3}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma derivada exata:
\bigl(u\,e^{x/3}\bigr)' = \tfrac{x}{3}e^{x/3}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
u\,e^{x/3} = \int \tfrac{x}{3}e^{x/3}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Calcular a integral por partes: seja p=\tfrac{x}{3} e dq=e^{x/3}dx. Então dp=\tfrac{1}{3}dx e q=3e^{x/3}. Assim
\int \tfrac{x}{3}e^{x/3}\,dx = \tfrac{x}{3}\cdot 3e^{x/3} - \int 3e^{x/3}\cdot \tfrac{1}{3}dx = x e^{x/3} - \int e^{x/3}dx = x e^{x/3} - 3e^{x/3}.
Portanto
u\,e^{x/3} = x e^{x/3} - 3e^{x/3} + C.
Dividindo por e^{x/3} obtemos
u = x - 3 + C e^{-x/3}.

Passo 6

Voltando à variável original y, lembrando u=y^{1/3}, temos
y^{1/3} = x - 3 + C e^{-x/3}.
Elevando ambos os lados ao cubo:
y = \bigl(x - 3 + C e^{-x/3}\bigr)^{3},
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Além disso, como observado no Passo 3, existe a solução singular
y\equiv 0.
Comentários sobre domínio: a operação de cubo e da raiz cúbica é bem definida para números reais negativos também, então a família escrita com C cobre soluções que mudam de sinal; a derivação dividiu por u^{2}, portanto tratamos u\equiv0 separadamente, mas a expressão final para y continua válida mesmo que em alguns pontos o fator dentro do parênteses se anule.

Resposta

\displaystyle y=\bigl(x-3+C e^{-x/3}\bigr)^{3},\quad C\in\mathbb{R}
\displaystyle y\equiv 0

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