Resolva as seguinte equações diferenciais: x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0 \quad Considere as condições iniciais: \quad y(1)=2 \quad y^{\prime}(1)=4
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y'' + x y' - 4y = 0
sujeita às condições iniciais
y(1)=2,\qquad y'(1)=4.
Informações dadas que vamos usar:
A equação envolve coeficientes que são potências de x (como x^{2} e x), e é uma equação linear homogênea de segunda ordem.
Temos duas condições em x=1 que servem para determinar as constantes da solução geral.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática do método que vamos usar).
Quando os coeficientes da equação têm a forma x^{k} (potências de x), uma técnica muito eficiente é tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (pode ser real ou complexo). Por que isso funciona? Porque ao derivar potências de x obtemos potências de mesma forma, então as três parcelas da equação ficam todas proporcionais a x^{m} e podemos fatorar x^{m} para obter uma equação algébrica em m. Essa equação em m é chamada de equação característica (ou indicial) e fornece os expoentes que geram as soluções fundamentais.
Regra de derivação que usaremos repetidamente: para qualquer n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Passo 3
Aplicando a tentativa y=x^{m}.
Calcule as derivadas:
y = x^{m},\qquad y' = m x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Temos dois valores reais distintos m_{1}=2 e m_{2}=-2. Isso indica que duas soluções independentes da equação diferencial são x^{2} e x^{-2}. Portanto, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Derivar a solução geral para aplicar a condição em y'(1).