Resolva as seguinte equações diferenciais:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=0 \quad Considere as condições iniciais: \quad y(1)=2 \quad y^{\prime}(1)=4

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y'' + x y' - 4y = 0
sujeita às condições iniciais
y(1)=2,\qquad y'(1)=4.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação envolve coeficientes que são potências de x (como x^{2} e x), e é uma equação linear homogênea de segunda ordem.
  • Temos duas condições em x=1 que servem para determinar as constantes da solução geral.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática do método que vamos usar).
Quando os coeficientes da equação têm a forma x^{k} (potências de x), uma técnica muito eficiente é tentar uma solução do tipo
y=x^{m},
onde m é um número (pode ser real ou complexo). Por que isso funciona? Porque ao derivar potências de x obtemos potências de mesma forma, então as três parcelas da equação ficam todas proporcionais a x^{m} e podemos fatorar x^{m} para obter uma equação algébrica em m. Essa equação em m é chamada de equação característica (ou indicial) e fornece os expoentes que geram as soluções fundamentais.
Regra de derivação que usaremos repetidamente: para qualquer n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 3

Aplicando a tentativa y=x^{m}.
Calcule as derivadas:
y = x^{m},\qquad y' = m x^{m-1},\qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação dada:
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr) + x\bigl(m x^{m-1}\bigr) - 4 x^{m} = 0.
Fatorando x^{m} (observe que x^{2}x^{m-2}=x^{m} e x x^{m-1}=x^{m}):
\bigl[m(m-1) + m - 4\bigr] x^{m} = 0.
Como x^{m} não é identicamente zero para x\neq0, obtemos a equação característica:
m(m-1)+m-4=0.
Simplificando:
m^{2}-4=0.

Passo 4

Resolver a equação característica.
m^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad m^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad m=\pm 2.
Temos dois valores reais distintos m_{1}=2 e m_{2}=-2. Isso indica que duas soluções independentes da equação diferencial são x^{2} e x^{-2}. Portanto, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Derivar a solução geral para aplicar a condição em y'(1).
Primeiro aplicamos a regra da potência:
\frac{d}{dx}\bigl(C_{1}x^{2}\bigr)=2C_{1}x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(C_{2}x^{-2}\bigr)=-2C_{2}x^{-3}.
Somando:
y'(x)=2C_{1}x - 2C_{2}x^{-3}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Usando y(1)=2:
y(1)=C_{1}\cdot 1^{2}+C_{2}\cdot 1^{-2}=C_{1}+C_{2}=2. \tag{1}
Usando y'(1)=4:
y'(1)=2C_{1}\cdot 1 - 2C_{2}\cdot 1^{-3}=2C_{1}-2C_{2}=4. \tag{2}
Resolva o sistema formado por (1) e (2). Da equação (2) divida por 2:
C_{1}-C_{2}=2. \tag{2'}
Agora some (1) e (2’):
(C_{1}+C_{2}) + (C_{1}-C_{2}) = 2 + 2 \quad\Rightarrow\quad 2C_{1}=4 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=2.
Substituindo em (1):
2 + C_{2} = 2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.

Passo 7

Escrever a solução particular e verificar brevemente.
Substituindo as constantes na solução geral:
y(x)=2x^{2} + 0\cdot x^{-2} = 2x^{2}.
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): para y(x)=2x^{2} temos y'=4x e y''=4. Substituindo na equação original:
x^{2}\cdot 4 + x\cdot 4x - 4\cdot 2x^{2} = 4x^{2}+4x^{2}-8x^{2}=0,
logo satisfaz a equação.

Resposta

\,y(x)=2x^{2}\,

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