Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais :
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Observações úteis que tiro do enunciado:
- A equação envolve potências fracionárias
e também divisão por quando isolamos . Para trabalhar com números reais, vou resolver na região onde (nos intervalos onde tem sinal constante a solução segue a mesma forma, adaptando sinais/valores absolutos se necessário). - O que precisamos encontrar é a família de soluções dependente de uma constante arbitrária
.
Passo 2
Coloco a equação na forma padrão de primeira ordem (isolar
). Divido a equação por
(assumindo
):
Aqui identifiquei os coeficientes da forma padrão
: temos
Passo 3
Pequena aula: método do fator integrante (explicação por que funciona).
- Para uma equação linear de primeira ordem
procura-se um fator integrante
tal que ao multiplicar a equação por
a esquerda se torne a derivada do produto
, isto é:
- Expandindo
. Para que isso seja igual a precisamos de , ou seja
- Assim
é obtido por
Depois de multiplicar, integramos ambos os lados e obtemos
. Essa é a receita completa.
Passo 4
Calculo o fator integrante para o nosso
. Primeiro a integral:
válido para
. Portanto
Expliquei: usei que
e
.
Passo 5
Multiplico a equação na forma padrão por
. A equação torna-se
O lado esquerdo é exatamente a derivada
, porque
. O lado direito simplifica:
Logo obtemos a equação simples
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Isolo
dividindo por
:
Posso também escrever a solução usando raiz:
Aqui
é a constante arbitrária que gera a família geral de soluções.
Passo 8
Comentário final e interpretação: a solução encontrada vale em qualquer intervalo onde
. Se for necessário trabalhar em
e manter valores reais, deve-se tratar as potências fracionárias com valores absolutos (fator integrante seria
e a mesma forma geral aparece, definida no intervalo considerado). Mas para a maioria dos exercícios com
assume-se
.