Ache a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais :
2 x y^{\prime}+y=2 x^{5 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2x\,y'(x)+y(x)=2x^{5/2}
e pede a solução geral y(x). Observações úteis que tiro do enunciado:
  • A equação envolve potências fracionárias x^{5/2} e também divisão por x quando isolamos y'. Para trabalhar com números reais, vou resolver na região onde x>0 (nos intervalos onde x tem sinal constante a solução segue a mesma forma, adaptando sinais/valores absolutos se necessário).
  • O que precisamos encontrar é a família de soluções dependente de uma constante arbitrária C.

Passo 2

Coloco a equação na forma padrão de primeira ordem (isolar y'). Divido a equação por 2x (assumindo x\neq0):
y'(x)+\frac{1}{2x}\,y(x)=x^{3/2}.
Aqui identifiquei os coeficientes da forma padrão y'+P(x)y=Q(x): temos
P(x)=\frac{1}{2x},\qquad Q(x)=x^{3/2}.

Passo 3

Pequena aula: método do fator integrante (explicação por que funciona).
  • Para uma equação linear de primeira ordem
y'+P(x)y=Q(x),
procura-se um fator integrante \mu(x) tal que ao multiplicar a equação por \mu a esquerda se torne a derivada do produto \mu(x)y(x), isto é:
\mu(x)\bigl(y'+P y\bigr)=(\mu y)'.
  • Expandindo (\mu y)'=\mu y'+\mu' y. Para que isso seja igual a \mu(y'+P y) precisamos de \mu'=\mu P, ou seja
\frac{\mu'}{\mu}=P(x).
  • Assim \mu(x) é obtido por
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Depois de multiplicar, integramos ambos os lados e obtemos \mu y=\int \mu Q\,dx + C. Essa é a receita completa.

Passo 4

Calculo o fator integrante para o nosso P(x)=\dfrac{1}{2x}. Primeiro a integral:
\int P(x)\,dx=\int \frac{1}{2x}\,dx=\frac{1}{2}\ln x,
válido para x>0. Portanto
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\frac{1}{2}\ln x\Bigr)=x^{1/2}.
Expliquei: usei que e^{\ln x}=x e e^{a\ln x}=x^a.

Passo 5

Multiplico a equação na forma padrão por \mu(x)=x^{1/2}. A equação torna-se
x^{1/2}y'+\frac{1}{2}x^{-1/2}y = x^{1/2}\cdot x^{3/2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada (x^{1/2}y)', porque (x^{1/2}y)'=x^{1/2}y'+(x^{1/2})'y=x^{1/2}y'+\frac{1}{2}x^{-1/2}y. O lado direito simplifica:
x^{1/2}\cdot x^{3/2}=x^{(1/2+3/2)}=x^{2}.
Logo obtemos a equação simples
\bigl(x^{1/2}y\bigr)'=x^{2}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
x^{1/2}y=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Isolo y dividindo por x^{1/2}:
y(x)=\frac{1}{x^{1/2}}\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{1}{3}x^{5/2}+C x^{-1/2}.
Posso também escrever a solução usando raiz:
y(x)=\frac{1}{3}x^{5/2}+\frac{C}{\sqrt{x}},\qquad x>0.
Aqui C é a constante arbitrária que gera a família geral de soluções.

Passo 8

Comentário final e interpretação: a solução encontrada vale em qualquer intervalo onde x>0. Se for necessário trabalhar em x<0 e manter valores reais, deve-se tratar as potências fracionárias com valores absolutos (fator integrante seria |x|^{1/2} e a mesma forma geral aparece, definida no intervalo considerado). Mas para a maioria dos exercícios com x^{5/2} assume-se x>0.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}x^{5/2}+C x^{-1/2},\qquad x>0

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