Ache a solução geral da EDO:
d yd t=1-t+y^2-t cdot y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
dydt = 1 - t + y^2 - t cdot y^2
O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como separar as variáveis ou identificar se a equação é linear ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação para ver se conseguimos separá-la. Observando a EDO:
dydt = 1 - t + y^2 - t cdot y^2
Podemos reescrever isso agrupando os termos com y^2 :
dydt = (1 - t) + y^2(1 - t)
Perceba que 1 - t é um fator comum. Então, a equação fica:
dydt = (1 - t)(1 + y^2)

Passo 3

Agora, nossa equação está na forma:
dydt = (1 - t)(1 + y^2)
Vamos tentar separar as variáveis y e t . Para isso, dividimos ambos os lados por 1 + y^2 e multiplicamos por dt:
dy1 + y^2 = (1 - t) , dt

Passo 4

Agora que temos as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo com respeito a y e o lado direito com respeito a t :
integral dy1 + y^2 = integral (1 - t) , dt
Sabemos que:
integral dy1 + y^2 = arctan(y) + C
E:
integral (1 - t) , dt = t - t^22 + C

Passo 5

Após integrar, temos:
arctan(y) = t - t^22 + C
Para isolar y , aplicamos a função tangente dos dois lados:
y = tan(t - t^22 + C)

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = tan(t - t^22 + C)

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