Calcule o comprimento da curva ao longo do intervalo dado.
r(t)=lang<= 2t, ln t, t^2 rang<=, 11 <= t <= 15.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva r(t)=lang<= 2t,ln t,t^2rang<= no intervalo 11<= t<=15 e pede o comprimento de arco. O conteúdo é comprimento de curva em R^3, para o qual usamos a fórmula
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Derivamos cada componente de r(t). A derivada de 2t é 2, de ln t é 1/t e de t^2 é 2t. Logo,
r'(t)=lang<= 2,tfrac1t,2trang<=

Passo 3

Para o comprimento precisamos da norma de r'(t):
|r'(t)|=raiz2^2+l(tfrac1tr)^2+(2t)^2 =raiz4+tfrac1t^2+4t^2

Passo 4

Note que
4t^2+4+tfrac1t^2 =(2t)^2+2cdot(2t)cdottfrac1t+l(tfrac1tr)^2 =l(2t+tfrac1tr)^2
Como t>0, ficamos com
|r'(t)|=2t+tfrac1t

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos
L=integral11^15l(2t+tfrac1tr),dt

Passo 6

Integramos termo a termo:
integrall(2t+tfrac1tr),dt =integral2t,dt+integraltfrac1t,dt =t^2+ln t+C

Passo 7

Avaliaremos de 11 a 15:
L=l[t^2+ln tr]11^15 =(15^2+ln15)-(11^2+ln11) =225-121+ln!l(tfrac1511r) =104+ln!l(tfrac1511r)

Resposta

L=104+ln!l(tfrac1511r)

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