Calcule a integral.
integral-1^3 ( te^-t^2 i + t ln(t^2+1) j - te^-t k ) dt

Passo 1

Bora resumir o que temos: calcular a integral vetorial
integral-1^3 l(t,e^-t^2i + tln(t^2+1),j - t,e^-t,kr),dt
A ideia é tratar cada componente separadamente, achar a antiderivada escalar e depois avaliar de -1 a 3.

Passo 2

Componente em i:
integral-1^3 t,e^-t^2,dt
Usamos a substituição u=-t^2, du=-2t,dt Rightarrow t,dt=-tfrac12,du. Assim
integral t,e^-t^2,dt = -tfrac12 e^-t^2 + C
Avaliando de -1 a 3:
-tfrac12 e^-t^2|-1^3 = -tfrac12 e^-9 - l(-tfrac12 e^-1r) = tfrac12l(e^-1-e^-9r)

Passo 3

Componente em j:
integral-1^3 t,ln(t^2+1),dt
Fazemos u=t^2+1, du=2t,dt Rightarrow t,dt=tfrac12du. Então
integral t,ln(t^2+1),dt = tfrac12integral ln u,du = tfrac12l(uln u - ur) + C = tfrac12l((t^2+1)ln(t^2+1)-(t^2+1)r)
Avaliando de -1 a 3:
&tfrac12l((9+1)ln10 -10r) -tfrac12l((1+1)ln2 -2r) &=5ln10 -5 -(ln2 -1) =5ln10 -ln2 -4

Passo 4

Componente em k:
integral-1^3 -t,e^-t,dt = -integral-1^3 t,e^-t,dt
Por partes, com u=t, dv=e^-tdt Rightarrow du=dt, v=-e^-t:
integral t,e^-t,dt = -t,e^-t - integral(-e^-t),dt = -(t+1)e^-t + C
Logo
-integral t,e^-t,dt = (t+1)e^-t + C,
e avaliando de -1 a 3:
(t+1)e^-t|-1^3 = 4e^-3 - 0 = 4e^-3

Resposta

e^-1-e^-92,i ;+;l(5ln10 - ln2 - 4r),j ;+;4e^-3,k

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