Ache a solução geral da equação
d^2 yd x^2-3 d yd x+2 y=4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
d^2 yd x^2 - 3 d yd x + 2 y = 4 x^2
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para completar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
d^2 yd x^2 - 3 d yd x + 2 y = 0
Para isso, fazemos a equação característica substituindo y = e^r x :
r^2 - 3 r + 2 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, as raízes são r1 = 2 e r2 = 1 . Assim, a solução geral da parte homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
d^2 yd x^2 - 3 d yd x + 2 y = 4 x^2
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau ( 4x^2), vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
yp = A x^2 + B x + C
Vamos calcular as derivadas necessárias:
d ypd x = 2A x + B
d^2 ypd x^2 = 2A
Substituindo na equação original:
2A - 3(2A x + B) + 2(A x^2 + B x + C) = 4x^2
Simplificando:
2A - 6A x - 3B + 2A x^2 + 2B x + 2C = 4x^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
2A x^2 + (-6A + 2B) x + (2A - 3B + 2C) = 4x^2 + 0x + 0
Para que isso seja válido para todo x , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
2A = 4 Rightarrow A = 2
-6A + 2B = 0 Rightarrow -12 + 2B = 0 Rightarrow B = 6
2A - 3B + 2C = 0 Rightarrow 4 - 18 + 2C = 0 Rightarrow 2C = 14 Rightarrow C = 7
Então, a solução particular é:
yp = 2x^2 + 6x + 7

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^2x + C2 e^x + 2x^2 + 6x + 7

Resposta

A solução geral da equação é
y = C1 e^2x + C2 e^x + 2x^2 + 6x + 7
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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