Ache a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular para completar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Para isso, fazemos a equação característica substituindo
:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Então, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau (
), vamos supor que a solução particular seja também um polinômio de segundo grau:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.