Diga de que ordem são as EDOs a seguir. Verifique que a função dada é uma solução. ( a, b, c são constantes arbitrárias).
y^prime+2 y=4(x+1)^2, y=5 e^-2 x+2 x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial ordinária
y' + 2y = 4(x+1)^2
e pede (i) a ordem dessa EDO e (ii) verificar que
y = 5e^-2x + 2x^2 + 2x + 1
é solução. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos precisar calcular y' e substituir em y'+2y.

Passo 2

A ordem da EDO é dada pela maior derivada presente. Aqui só aparece y', logo é de primeira ordem.

Passo 3

Calculemos a derivada de
y = 5e^-2x + 2x^2 + 2x + 1
Derivando termo a termo,
y' = ddx(5e^-2x) + ddx(2x^2) + ddx(2x) + ddx(1) = -10e^-2x + 4x + 2 + 0

Passo 4

Agora substituímos em y' + 2y:
y' + 2y = l(-10e^-2x + 4x + 2r) + 2l(5e^-2x + 2x^2 + 2x + 1r)
Distribuindo e somando termos:
-10e^-2x + 10e^-2x + 4x + 2 + 4x^2 + 4x + 2 = 4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1) = 4(x+1)^2
Isso coincide com o lado direito da EDO.

Resposta

A equação é de primeira ordem e a função dada é solução, pois ao substituir em y'+2y obtemos exatamente 4(x+1)^2.

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