Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Seja .Mostre que não existe tal que .Porque isso não contradiz o teorema do valor médio?
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa mostrar que não existe um número no intervalo que satisfaça a equação . Pra isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio. Vamos precisar entender bem como funciona esse teorema e também como as derivadas influenciam o gráfico da função. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular e .
Então, .
Passo 3
Agora, queremos encontrar um no intervalo tal que:
Substituindo os valores que já temos:
Então, precisamos que:
Passo 4
Vamos analisar a derivada de [f(x) = |x - 1|). A derivada de é:
No nosso caso, (a = 1], então:
ã
Passo 5
Estamos procurando um c em (0, 3) onde f'(c) = 13 . Vamos ver os valores de f'(x) :
Se x > 1 , f'(x) = 1
Se x < 1 , f'(x) = -1
Nenhum desses valores é igual a 13 . Ou seja, não existe um c em (0, 3) que satisfaça f'(c) = 13 .
Passo 6
Agora, por que isso não contraria o Teorema do Valor Médio? Vamos lembrar o que o teorema diz:
Teorema do Valor Médio: Se uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que:
f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
No nosso caso, f(x) = |x - 1| é contínua em [0, 3], mas não é diferenciável em x = 1 , que está dentro de (0, 3). Isso significa que as condições do teorema não estão totalmente atendidas, já que a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto.
Resposta
Não existe um número c em (0, 3) que satisfaça f(3) - f(0) = f'(c)(3 - 0) para a função f(x) = |x - 1| . Isso não contraria o Teorema do Valor Médio porque a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto (0, 3), especificamente em x = 1 , o que significa que o teorema não se aplica completamente nesse caso.