Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Seja f(x)=|x-1| .Mostre que não existe c tal que f(3)-f(0)=f^prime(c)(3-0) .Porque isso não contradiz o teorema do valor médio?

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = |x - 1| e precisa mostrar que não existe um número c no intervalo [0, 3] que satisfaça a equação f(3) - f(0) = f'(c)(3 - 0) . Pra isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio. Vamos precisar entender bem como funciona esse teorema e também como as derivadas influenciam o gráfico da função. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(3) e f(0) .
f(3) = |3 - 1| = 2
f(0) = |0 - 1| = 1
Então, f(3) - f(0) = 2 - 1 = 1 .

Passo 3

Agora, queremos encontrar um c no intervalo (0, 3) tal que:
f(3) - f(0) = f'(c) times (3 - 0)
Substituindo os valores que já temos:
1 = f'(c) times 3
Então, precisamos que:
f'(c) = 13

Passo 4

Vamos analisar a derivada de [f(x) = |x - 1|). A derivada de é:
ã
No nosso caso, (a = 1], então:
ã

Passo 5

Estamos procurando um c em (0, 3) onde f'(c) = 13 . Vamos ver os valores de f'(x) :
  • Se x > 1 , f'(x) = 1
  • Se x < 1 , f'(x) = -1
Nenhum desses valores é igual a 13 . Ou seja, não existe um c em (0, 3) que satisfaça f'(c) = 13 .

Passo 6

Agora, por que isso não contraria o Teorema do Valor Médio? Vamos lembrar o que o teorema diz:
Teorema do Valor Médio: Se uma função f é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que:
f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)
No nosso caso, f(x) = |x - 1| é contínua em [0, 3], mas não é diferenciável em x = 1 , que está dentro de (0, 3). Isso significa que as condições do teorema não estão totalmente atendidas, já que a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto.

Resposta

Não existe um número c em (0, 3) que satisfaça f(3) - f(0) = f'(c)(3 - 0) para a função f(x) = |x - 1| . Isso não contraria o Teorema do Valor Médio porque a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto (0, 3), especificamente em x = 1 , o que significa que o teorema não se aplica completamente nesse caso.

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