Ache a solução geral da equação
d^2 yd x^2-2 d yd x-8 y=4 e^2 x-21 e^-3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x - 8 y = 4 e^2 x - 21 e^-3 x
Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x - 8 y = 0
Para isso, assumimos uma solução da forma y = e^r x . Substituindo na equação, temos:
r^2 e^r x - 2 r e^r x - 8 e^r x = 0
Dividindo por e^r x (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
r^2 - 2 r - 8 = 0

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r :
r^2 - 2 r - 8 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62
Então, as raízes são:
r1 = 2 + 62 = 4 e r2 = 2 - 62 = -2

Passo 4

Com as raízes r1 = 4 e r2 = -2 , a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^4 x + C2 e^-2 x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
d^2 yd x^2 - 2 d yd x - 8 y = 4 e^2 x - 21 e^-3 x
Observamos que o lado direito é uma combinação de funções exponenciais. Vamos assumir que a solução particular seja da forma:
yp = A e^2 x + B e^-3 x
onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Vamos derivar yp para encontrar dyp/dx e d^2 yp/dx^2 :
d ypd x = 2 A e^2 x - 3 B e^-3 x
d^2 ypd x^2 = 4 A e^2 x + 9 B e^-3 x

Passo 7

Substituindo yp , dyp/dx e d^2 yp/dx^2 na equação original:
4 A e^2 x + 9 B e^-3 x - 2 (2 A e^2 x - 3 B e^-3 x) - 8 (A e^2 x + B e^-3 x) = 4 e^2 x - 21 e^-3 x
Simplificando:
4 A e^2 x + 9 B e^-3 x - 4 A e^2 x + 6 B e^-3 x - 8 A e^2 x - 8 B e^-3 x = 4 e^2 x - 21 e^-3 x
Agrupando os termos semelhantes:
(4 A - 4 A - 8 A) e^2 x + (9 B + 6 B - 8 B) e^-3 x = 4 e^2 x - 21 e^-3 x
-8 A e^2 x + 7 B e^-3 x = 4 e^2 x - 21 e^-3 x

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para e^2 x :
-8 A = 4 Rightarrow A = -48 = -12
Para e^-3 x :
7 B = -21 Rightarrow B = -217 = -3

Passo 9

Com os valores de A e B , a solução particular é:
yp = -12 e^2 x - 3 e^-3 x

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = C1 e^4 x + C2 e^-2 x - 12 e^2 x - 3 e^-3 x

Resposta

A solução geral da equação é:
y = C1 e^4 x + C2 e^-2 x - 12 e^2 x - 3 e^-3 x

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