Ache a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) e uma solução particular da equação completa. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o lado direito é uma combinação de funções exponenciais. Vamos assumir que a solução particular seja da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Passo 9
Com os valores de
e
, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: