Ache a solução geral da equação
Passo 1
Vamos resolver uma equação diferencial de terceira ordem:
Aqui, trabalharemos com Equações Lineares com Coeficientes Constantes. Precisamos achar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Essa é a parte da equação sem o termo não homogêneo
.
Passo 3
Para encontrar a solução da equação homogênea, assumimos uma solução do tipo
. Substituímos na equação:
Fatorando
(que nunca é zero):
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo
, encontramos as raízes:
Então, as soluções são
,
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
e
são constantes de integração.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Dividimos isso em duas partes: uma para o termo polinomial
e outra para o termo trigonométrico
.
Passo 7
Começamos com o termo polinomial
. Vamos supor uma solução particular da forma:
Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação original.
Passo 8
Após substituir e igualar os coeficientes, encontramos:
Portanto, a solução particular para o polinomial é:
Passo 9
Agora, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Isso porque
e
já fazem parte da solução homogênea, então multiplicamos por
para evitar duplicidade.
Passo 10
Substituindo
na equação e igualando os coeficientes, encontramos:
Portanto, a solução particular para o termo trigonométrico é:
Passo 11
A solução particular completa é a soma das duas soluções encontradas:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é