Ache a solução geral da equação
d^3 xd t^3+d xd t=2 t^2+4 sen t

Passo 1

Vamos resolver uma equação diferencial de terceira ordem:
d^3 xd t^3 + d xd t = 2 t^2 + 4 sin t
Aqui, trabalharemos com Equações Lineares com Coeficientes Constantes. Precisamos achar a solução geral dessa equação, que envolve encontrar a solução da parte homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
d^3 xd t^3 + d xd t = 0
Essa é a parte da equação sem o termo não homogêneo 2 t^2 + 4 sin t.

Passo 3

Para encontrar a solução da equação homogênea, assumimos uma solução do tipo x(t) = e^rt. Substituímos na equação:
r^3 e^rt + r e^rt = 0
Fatorando e^rt (que nunca é zero):
e^rt(r^3 + r) = 0 implies r^3 + r = 0
Simplificando:
r(r^2 + 1) = 0

Passo 4

Resolvendo r(r^2 + 1) = 0, encontramos as raízes:
r = 0, r = i, r = -i
Então, as soluções são r = 0, r = i e r = -i.

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 + C2 cos t + C3 sin t
Onde C1, C2 e C3 são constantes de integração.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular xp(t) para a equação completa:
d^3 xd t^3 + d xd t = 2 t^2 + 4 sin t
Dividimos isso em duas partes: uma para o termo polinomial 2 t^2 e outra para o termo trigonométrico 4 sin t.

Passo 7

Começamos com o termo polinomial 2 t^2. Vamos supor uma solução particular da forma:
xp1(t) = A t^3 + B t^2 + C t
Calculamos as derivadas necessárias e substituímos na equação original.

Passo 8

Após substituir e igualar os coeficientes, encontramos:
A = 23, B = 0, C = -4
Portanto, a solução particular para o polinomial é:
xp1(t) = 23 t^3 - 4 t

Passo 9

Agora, para o termo 4 sin t, assumimos uma solução particular da forma:
xp2(t) = D t cos t + E t sin t
Isso porque cos t e sin t já fazem parte da solução homogênea, então multiplicamos por t para evitar duplicidade.

Passo 10

Substituindo xp2(t) na equação e igualando os coeficientes, encontramos:
D = 0, E = 1
Portanto, a solução particular para o termo trigonométrico é:
xp2(t) = t sin t

Passo 11

A solução particular completa é a soma das duas soluções encontradas:
xp(t) = xp1(t) + xp2(t) = 23 t^3 - 4 t + t sin t

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 + C2 cos t + C3 sin t + 23 t^3 - 4 t + t sin t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x(t) = C1 + C2 cos t + C3 sin t + 23 t^3 - 4 t + t sin t

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