Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa ser resolvida. A equação é:
Além disso, temos condições iniciais: e .
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da parte não homogênea. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente assume uma solução do tipo . Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Então, as soluções são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular () para a parte não homogênea da equação:
A gente faz isso assumindo uma forma para que se pareça com o lado direito. Como temos um polinômio de 1ª ordem () e uma exponencial (), vamos assumir:
Onde , e são constantes a serem encontradas. Vamos derivar :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Vamos simplificar:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando mais:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para :
Para os termos constantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Passo 5
Vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de [C_1) e .
Primeiro, aplicamos :
Agora, encontramos a derivada de :
Aplicamos :
Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo (C_2 = 0] na equação (1):
Passo 6
Agora que temos os valores de C1 e C2 , substituímos de volta na solução geral:
r(s) = 3 e^-s + 0 cdot e^-4 s + 4 s - 5 + 2 e^s
r(s) = 3 e^-s + 4 s - 5 + 2 e^s
Resposta
A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: