Ache a solução geral da equação
c d^2 rd s^2+5 d rd s+4 r=16 s+20 e^s l r(0)=0 r^prime(0)=3

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que precisa ser resolvida. A equação é:
d^2 rd s^2 + 5 d rd s + 4 r = 16 s + 20 e^s
Além disso, temos condições iniciais: r(0) = 0 e r^prime(0) = 3 .
O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas. Vamos precisar achar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da parte não homogênea. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
d^2 rd s^2 + 5 d rd s + 4 r = 0
Para resolver isso, a gente assume uma solução do tipo rh = e^m s . Substituindo na equação:
m^2 e^m s + 5 m e^m s + 4 e^m s = 0
Dividindo por e^m s (que nunca é zero):
m^2 + 5 m + 4 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
m = -5 pm raiz25 - 162 = -5 pm 32
Então, as soluções são m = -1 e m = -4 . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
rh = C1 e^-s + C2 e^-4 s
Onde C1 e C2 são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( rp ) para a parte não homogênea da equação:
16 s + 20 e^s
A gente faz isso assumindo uma forma para rp que se pareça com o lado direito. Como temos um polinômio de 1ª ordem ( 16 s ) e uma exponencial ( 20 e^s ), vamos assumir:
rp = A s + B + C e^s
Onde A , B e C são constantes a serem encontradas. Vamos derivar rp :
d rpd s = A + C e^s
d^2 rpd s^2 = C e^s
Substituindo rp e suas derivadas na equação original:
C e^s + 5 (A + C e^s) + 4 (A s + B + C e^s) = 16 s + 20 e^s
Vamos simplificar:
C e^s + 5 A + 5 C e^s + 4 A s + 4 B + 4 C e^s = 16 s + 20 e^s
Agrupando termos semelhantes:
4 A s + (5 A + 4 B) + (C + 5 C + 4 C) e^s = 16 s + 20 e^s
Simplificando mais:
4 A s + (5 A + 4 B) + 10 C e^s = 16 s + 20 e^s
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para s :
4 A = 16 Rightarrow A = 4
  1. Para e^s :
10 C = 20 Rightarrow C = 2
  1. Para os termos constantes:
5 A + 4 B = 0 Rightarrow 5(4) + 4 B = 0 Rightarrow 20 + 4 B = 0 Rightarrow B = -5
Portanto, a solução particular é:
rp = 4 s - 5 + 2 e^s

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
r(s) = rh + rp = C1 e^-s + C2 e^-4 s + 4 s - 5 + 2 e^s

Passo 5

Vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de [C_1) e .
Primeiro, aplicamos :
Agora, encontramos a derivada de :
Aplicamos :
Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Substituindo (C_2 = 0] na equação (1):

Passo 6

Agora que temos os valores de C1 e C2 , substituímos de volta na solução geral:
r(s) = 3 e^-s + 0 cdot e^-4 s + 4 s - 5 + 2 e^s
r(s) = 3 e^-s + 4 s - 5 + 2 e^s

Resposta

A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
r(s) = 3 e^-s + 4 s - 5 + 2 e^s

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