(Existência) A EDO
possui uma solução geral?
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pergunta se existe solução geral. O conteúdo aqui é o fato de que valores absolutos são sempre não-negativos. Vamos usar a propriedade de que, para quaisquer funções reais,
e
.
Passo 2
Como
e
para todo
, a soma
só pode ser zero se cada parcela for zero individualmente.
Passo 3
Portanto, para todo
,
Isto implica
Passo 4
Integrando
obtemos
, mas como também
, segue
. Logo a única solução é
Não surge nenhuma constante livre além de zero, ou seja, não há família de soluções, somente a trivial.
Resposta
A única solução da EDO é
logo não existe uma solução geral com parâmetro livre.