(Existência) A EDO |y^prime|+|y|=0 possui uma solução geral?

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
|y'| + |y| = 0
e pergunta se existe solução geral. O conteúdo aqui é o fato de que valores absolutos são sempre não-negativos. Vamos usar a propriedade de que, para quaisquer funções reais, |y'|>=0 e |y|>=0.

Passo 2

Como |y'(x)|>=0 e |y(x)|>=0 para todo x, a soma
|y'(x)| + |y(x)|
só pode ser zero se cada parcela for zero individualmente.

Passo 3

Portanto, para todo x,
|y'(x)| = 0 e |y(x)| = 0
Isto implica
y'(x)=0 e y(x)=0

Passo 4

Integrando y'(x)=0 obtemos y(x)=C, mas como também y(x)=0, segue C=0. Logo a única solução é
y(x)equiv 0
Não surge nenhuma constante livre além de zero, ou seja, não há família de soluções, somente a trivial.

Resposta

A única solução da EDO é
y(x)=0,
logo não existe uma solução geral com parâmetro livre.

Exercícios relacionados