Ache uma solução geral para a equação auxiliar para determinada equação diferencial com raízes complexas: z^prime prime-6 z^prime+10 z=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
z'' - 6,z' + 10,z = 0
e pede a solução geral. O método padrão é assumir uma solução do tipo z(x)=e^lambda x e montar a equação característica.

Passo 2

Substituindo z(x)=e^lambda x em z'' - 6,z' + 10,z=0, temos
lambda^2 e^lambda x - 6lambda e^lambda x + 10 e^lambda x = 0
Dividindo por e^lambda x neq 0, obtemos a equação característica
lambda^2 - 6lambda + 10 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante dessa quadrática:
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot10 = 36 - 40 = -4
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas. Usando a fórmula de Bháskara,
lambda = 6 pm raiz-42 = 3 pm i

Passo 4

Para raízes lambda1,2 = alpha pm ibeta com alpha=3 e beta=1, a solução geral real é
z(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha=3 e beta=1, fica
z(x) = e^3xl(C1cos x + C2sin xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias de integração.

Resposta

z(x) = e^3xl(C1cos x + C2sin xr)

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