Considere a função z=g(x, y) definida por g(x, y)=56 raiz9-9 x^2-4 y^2. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto (23, 1, g(23, 1)), de duas maneiras diferentes.
(Sem vetor gradiente e com vetor gradiente).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função z = g(x, y) no ponto (23, 1, g(23, 1)) . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetor gradiente. Precisamos entender como calcular derivadas parciais e como elas nos ajudam a encontrar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de g(23, 1) . A função é dada por:
g(x, y) = 56 raiz9 - 9x^2 - 4y^2
Substituindo x = 23 e y = 1 :
g(23, 1) = 56 raiz9 - 9(23)^2 - 4(1)^2
Vamos simplificar dentro da raiz:
9(23)^2 = 9 times 49 = 4
4(1)^2 = 4
9 - 4 - 4 = 1
Então:
g(23, 1) = 56 raiz1 = 56

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de g(x, y) em relação a x e y . Isso nos ajudará a determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, derivada parcial em relação a x :
gx(x, y) = partialpartial x ( 56 raiz9 - 9x^2 - 4y^2 ) = 56 times 12 times -18xraiz9 - 9x^2 - 4y^2 = -15x6 raiz9 - 9x^2 - 4y^2 = -5x2 raiz9 - 9x^2 - 4y^2
Agora, derivada parcial em relação a y :
gy(x, y) = partialpartial y ( 56 raiz9 - 9x^2 - 4y^2 ) = 56 times 12 times -8yraiz9 - 9x^2 - 4y^2 = -20y6 raiz9 - 9x^2 - 4y^2 = -10y3 raiz9 - 9x^2 - 4y^2

Passo 4

Vamos avaliar gx e gy no ponto (23, 1) :
Primeiro, calculamos o denominador novamente, que já vimos que é 1:
raiz9 - 9(23)^2 - 4(1)^2 = raiz1 = 1
Então:
gx(23, 1) = -5 times 232 times 1 = -106 = -53
gy(23, 1) = -10 times 13 times 1 = -103

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente:
z - z0 = gx(x0, y0)(x - x0) + gy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 56 = (-53)(x - 23) + (-103)(y - 1)

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
z - 56 = -53x + 109 - 103y + 103
Somando os termos constantes:
109 + 103 = 109 + 309 = 409
Então:
z = -53x - 103y + 409 + 56
Convertendo 56 para novenovena:
56 = 1518 = 56
Ah, melhor somar diretamente:
409 + 56 = 8018 + 1518 = 9518
Então:
z = -53x - 103y + 9518

Passo 7

Para deixar a equação mais arrumada, podemos multiplicar todos os termos por 18 para eliminar denominadores:
18z = -30x - 60y + 95
Rearranjando:
30x + 60y + 18z = 95
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
10x + 20y + 6z = 953

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto dado é:
10x + 20y + 6z = 953

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