Considere a função
definida por
. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de g no ponto
, de duas maneiras diferentes.
(Sem vetor gradiente e com vetor gradiente).
(Sem vetor gradiente e com vetor gradiente).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e vetor gradiente. Precisamos entender como calcular derivadas parciais e como elas nos ajudam a encontrar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. A função é dada por:
Substituindo
e
:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso nos ajudará a determinar a inclinação do plano tangente.
Primeiro, derivada parcial em relação a
:
Agora, derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos avaliar
e
no ponto
:
Primeiro, calculamos o denominador novamente, que já vimos que é 1:
Então:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Somando os termos constantes:
Então:
Convertendo
para novenovena:
Ah, melhor somar diretamente:
Então:
Passo 7
Para deixar a equação mais arrumada, podemos multiplicar todos os termos por 18 para eliminar denominadores:
Rearranjando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto dado é: