Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo , encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem $$ a y^{\prime}+b y=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem e coeficientes constantes
a,y' + b,y = 0,
usando a substituição y=e^r t, e então aplicar esse resultado na equação
6,w' - 13,w = 0

Passo 2

Substituindo y=e^r t temos
y' = r,e^r t
e portanto a equação torna-se
a,(r,e^r t) + b,(e^r t) = e^r t,(a,r + b) =0
Como e^r tneq 0, fica a equação auxiliar
a,r + b = 0

Passo 3

Da equação auxiliar a,r + b=0 segue
r = -ba
Logo a solução geral da equação homogênea é
y(t) = C,e^r t = C,e^-bat,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 4

Para
6,w' - 13,w = 0
escrevemos como 6,w' + b,w=0, identificando a=6 e b=-13. Assim
r = -ba = --136 = 136
e a solução geral é
w(t) = C,e^136t

Resposta

w(t) = C,e^tfrac136t

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