Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo y=e^r t, encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem a y^prime+b y=0, em que a e b são constantes com a neq 0. (b) Use o resultado do item (a) para encontrar a solução geral. Nos problemas 22-25, use o método descrito no Problema 21 para encontrar uma solução geral para a equação dada: 3 y^prime-7 y=0

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes: 3 y′−7 y=0. Para resolver, vamos usar o método de substituição y=e^{r t}, descrito no Problema 21, que leva a uma equação auxiliar para r.

Passo 2

Assumindo y=e^{r t}, calculamos a derivada y′=r e^{r t}. Substituindo na equação dada, obtemos:
3l(r,e^r,tr)-7l(e^r,tr)=0,

Passo 3

Fatorando e^{r t} (que nunca é zero), surge a equação auxiliar:
e^r,t(3r-7)=0Longrightarrow3r-7=0,

Passo 4

Resolvendo para r, temos r=7/3. A solução geral da EDO é então y=C e^{r t}, com C constante arbitrária.

Resposta

y(t)=C,e^tfrac73t

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