Equações de primeira ordem com coeficientes constantes. (a) Substituindo
, encontramos a equação auxiliar para a equação linear de primeira ordem
em que
e
são constantes com
. (b) Use o resultado do item (a) para encontrar a solução geral. Nos problemas 22-25, use o método descrito no Problema 21 para encontrar uma solução geral para a equação dada:
Passo 1
Temos uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem com coeficientes constantes: 3 y′−7 y=0. Para resolver, vamos usar o método de substituição y=e^{r t}, descrito no Problema 21, que leva a uma equação auxiliar para r.
Passo 2
Assumindo y=e^{r t}, calculamos a derivada y′=r e^{r t}. Substituindo na equação dada, obtemos:
Passo 3
Fatorando e^{r t} (que nunca é zero), surge a equação auxiliar:
Passo 4
Resolvendo para r, temos r=7/3. A solução geral da EDO é então y=C e^{r t}, com C constante arbitrária.