Ache uma solução geral para a equação auxiliar para determinada equação diferencial com raízes complexas: 4 y^prime prime+4 y^prime+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
4y'' + 4y' + 6y = 0
O método envolve montar a equação auxiliar (ou característica), resolver suas raízes e, no caso de raízes complexas, usar a forma exponencial-trigonométrica.

Passo 2

Escrevemos a equação auxiliar trocando ymapsto e^rx:
4r^2 + 4r + 6 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante De<a:
De<a = b^2 - 4ac = 4^2 - 4cdot4cdot6 = 16 - 96 = -80
Como De<a<0, as raízes são complexas conjugadas dado por
r = -4 pm raiz-802cdot4 = -4 pm i,4raiz58 = -tfrac12 pm i,tfracraiz52

Passo 4

Para raízes da forma
r = alpha pm ibeta
a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)r)
Aqui alpha = -tfrac12 e beta = tfracraiz52.

Resposta

A solução geral é
y(x) = e^-tfrac12xl(C1cosl(tfracraiz52xr)+C2sinl(tfracraiz52xr)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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