I) Verifique que:
f) argcosech(x)=ln (1x+raizx^2+1|x|), x neq 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a fórmula da função inversa da cosecante hiperbólica, ou seja, mostrar que
O conteúdo necessário envolve as definições de , e resolução de uma equação exponencial.

Passo 2

Defina
Por definição de função inversa temos

Passo 3

Use a expressão de sinh em termos das exponenciais:
sinh(y)=e^y-e^-y2=1x
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos
e^y-e^-y=2x

Passo 4

Multiplique a equação por e^y para eliminar o termo negativo:
e^2y-1=2x,e^y ;Longrightarrow; e^2y-2x,e^y-1=0
Isto é uma equação quadrática em t=e^y.

Passo 5

Chame t=e^y. A equação fica
t^2-2x,t-1=0
Usando a fórmula de Bhaskara,
t=tfrac2xpmraizl(tfrac2xr)^2+42 =1xpmraiz1x^2+1
Como t=e^y>0, escolhemos o sinal “ +”:
e^y=1x+raiz1x^2+1

Passo 6

Aplique o logaritmo natural:
y=ln!l(1x+raiztfrac1x^2+1r)
Observe que
raiztfrac1x^2+1 =raizx^2+1x^2 =raizx^2+1lvert xrvert
Logo
y=ln!l(1x+raizx^2+1lvert xrvertr)

Passo 7

Voltando à definição, y=argcosech(x), concluímos a fórmula desejada.

Resposta

argcosech(x) =ln!l(1x+raizx^2+1lvert xrvertr), xneq0

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