I) Verifique que:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a fórmula da função inversa da cosecante hiperbólica, ou seja, mostrar que
O conteúdo necessário envolve as definições de
, e resolução de uma equação exponencial.
Passo 2
Defina
Por definição de função inversa temos
Passo 3
Use a expressão de
em termos das exponenciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Multiplique a equação por
para eliminar o termo negativo:
Isto é uma equação quadrática em
.
Passo 5
Chame
. A equação fica
Usando a fórmula de Bhaskara,
Como
, escolhemos o sinal “
”:
Passo 6
Aplique o logaritmo natural:
Observe que
Logo
Passo 7
Voltando à definição,
, concluímos a fórmula desejada.